Раздел «Математическая грамотность» в спецификации НЦТ

Среднее, медиана, мода, размах

Главное по теме

Среднее арифметическое = сумма всех значений / их количество. Баллы 70, 80, 90: среднее 70 + 80 + 903 = 80.
Медиана = число посередине упорядоченного ряда. Сначала расставь числа по возрастанию, потом ищи середину. Ряд 9, 2, 7: порядок 2, 7, 9, медиана 7.
Чётное количество чисел: медиана это среднее двух средних. Ряд 2, 4, 6, 10: средние 4 и 6, медиана 4 + 62 = 5.
Мода = значение, которое встречается чаще других. В ряду 3, 5, 5, 8 мода 5. Мод может быть несколько или не быть вовсе.
Размах = наибольшее − наименьшее. Температуры −6°, 2°, 9°: размах 9 − (−6) = 15. Минус на минус даёт плюс.
Данные с частотами: «5 баллов у 3 учеников» значит 5 · 3 = 15 баллов в сумму и 3 человека в количество. Среднее = сумма произведений / общее число людей.
Нужное значение для заданного среднего: (новое среднее · новое количество) − старая сумма. Среднее 4 работ 70, хочу 72 за 5 работ: 5 · 72 − 4 · 70 = 80.
Добавили число: новая сумма = старая сумма + число, количество +1. Убрали число: сумма − число, количество −1. Делить всегда на новое количество.
Объединяем группы: среднее считается по общей сумме, а не как среднее двух средних. 10 человек по 60 и 30 человек по 80: 600 + 2 40040 = 75, а не 70.
Одно очень большое или маленькое число сильно тянет среднее, но почти не меняет медиану. Поэтому о зарплатах честнее говорит медиана.

Задания с разбором

1.Оценки за неделю: 4, 9, 6, 9, 2 (по десятибалльной шкале). Найди среднее, медиану, моду и размах.

1Среднее: складываем 4 + 9 + 6 + 9 + 2 = 30 и делим на 5 чисел: 30 / 5 = 6.
2Для медианы упорядочиваем ряд: 2, 4, 6, 9, 9. Чисел пять, середина это третье: 6.
3Мода это самое частое значение: 9 встречается дважды, остальные по одному. Мода 9.
4Размах: наибольшее минус наименьшее, 9 − 2 = 7.

Ответ: Среднее 6, медиана 6, мода 9, размах 7

2.Средний балл Данияра за три контрольные равен 68. Сколько нужно набрать за четвёртую, чтобы среднее стало 72?

1Сумма за три работы: 3 · 68 = 204.
2Нужная сумма за четыре работы: 4 · 72 = 288.
3За четвёртую работу нужно 288 − 204 = 84 балла.

Ответ: 84 балла

3.Время ожидания автобуса за шесть дней (в минутах): 7, 3, 10, 8, 3, 12. Найди медиану.

1Ловушка: взять два средних числа из записанного ряда (10 и 8) и получить 9. Так нельзя, сначала порядок.
2Упорядочиваем: 3, 3, 7, 8, 10, 12.
3Чисел шесть (чётное), поэтому берём два средних: третье и четвёртое, это 7 и 8.
4Медиана это их среднее: 7 + 82 = 7,5.

Ответ: 7,5 минуты

Объяснение простыми словами

Представь, что ты сдал пять пробных тестов по математической грамотности и хочешь понять, как у тебя дела. Пять чисел на листке мало о чём говорят, поэтому люди придумали несколько способов «сжать» ряд чисел в одно. Это среднее, медиана, мода и размах. Каждое из них отвечает на свой вопрос: «сколько в среднем», «что посередине», «что чаще всего» и «насколько большой разброс». На ЕНТ эти четыре слова встречаются постоянно, и главная сложность не в счёте, а в том, чтобы не перепутать, о чём именно спрашивают.

Среднее арифметическое это самая привычная вещь. Складываем все числа и делим на их количество. Баллы 70, 85, 90, 75 и 80: сумма 400, делим на 5, получаем 80. Среднее отвечает на вопрос «а если бы все тесты были одинаковыми, какой был бы балл». Важно делить именно на количество чисел, а не на что-то другое. Полезно помнить и обратное правило: если известно среднее и количество, то сумма равна среднему, умноженному на количество. Этот ход решает половину задач темы.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Доучи тему до конца в Biik

План на каждый день, видеоразборы, проверка из 8 заданий после каждой темы, пробник ЕНТ раз в месяц и ИИ-репетитор, который отвечает на вопросы. 3 дня бесплатно, без карты.

Начать бесплатно Пройти диагностику

Диагностика покажет, сколько баллов тебе не хватает до гранта и где именно. 30 заданий после короткой бесплатной регистрации.

Термины

Ряд данных: Набор чисел, полученных из наблюдений или измерений: баллы, цены, температуры.
Среднее арифметическое: Сумма всех значений ряда, делённая на их количество.
Медиана: Значение, стоящее посередине ряда, упорядоченного по возрастанию.
Мода: Значение, которое встречается в ряду чаще остальных.
Размах: Разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда.
Упорядоченный ряд: Ряд, в котором числа записаны по возрастанию или убыванию.
Частота: Сколько раз значение встречается в ряду, например «4 балла у 6 учеников».
Таблица частот: Запись данных в виде «значение: сколько раз встретилось».
Сумма ряда: Все значения, сложенные вместе; равна среднему, умноженному на количество.
Количество значений: Сколько чисел в ряду; при частотах это сумма всех частот.
Выброс: Значение, резко отличающееся от остальных, например одна зарплата директора среди зарплат сотрудников.
Среднее по группам: Среднее двух объединённых групп, считается через общую сумму и общее количество.
Взвешенное среднее: Среднее, где каждое значение умножается на свою частоту (вес) перед сложением.
Средний балл: Среднее арифметическое оценок или баллов за несколько работ.
Целевое среднее: Среднее, которого нужно достичь; по нему находят недостающее значение.
Наибольшее значение: Самое большое число ряда, участвует в размахе.
Наименьшее значение: Самое маленькое число ряда, участвует в размахе.
Двухмодальный ряд: Ряд, в котором два значения встречаются одинаково часто и чаще остальных.

Все темы: Математическая грамотность