Последовательности и закономерности

Главное по теме

• Первый шаг всегда один: выпишите разности соседних чисел. Одинаковые разности это арифметическое правило «прибавь d»: 4, 9, 14, 19, дальше 24. Ряд может и убывать: 100, 93, 86, 79, дальше 72.
• Разности не одинаковые? Проверьте деление: 2, 6, 18, 54, каждое в 3 раза больше предыдущего, дальше 162. Это геометрическое правило «умножь на q».
• Знайте в лицо квадраты 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и кубы 1, 8, 27, 64, 125, 216. Ряд 2, 5, 10, 17 это квадраты плюс 1, дальше 26 и 37.
• Разности сами могут расти: 3, 4, 6, 9, 13 имеет разности 1, 2, 3, 4, следующая 5, поэтому дальше 18. Проверяйте правило на всём ряду, не на двух последних числах.
• Чередование действий: 2, 6, 7, 21, 22, 66 это ×3, +1, ×3, +1. Смотрите, каким действием получен последний член, и делайте следующее по очереди: 66 + 1 = 67.
• Правило может зависеть от номера члена: 1, 2, 4, 4, 7, 8, 10, 16. Нечётные места растут на 3, чётные удваиваются. Девятый член стоит на нечётном месте: 10 + 3 = 13.
• Формула члена по номеру: если a(n) = n² − 1, то седьмой член 7² − 1 = 48. Подставляйте номер в формулу и не теряйте «−1».
• Пропущенные члены: найдите правило по известным соседям, потом восстановите x и y и только затем считайте x − y или y − x. Порядок вычитания важен: y − x и x − y отличаются знаком.
• Фигуры и таблицы: 1 квадрат 4 спички, 2 квадрата 7, 3 квадрата 10. Каждый новый квадрат добавляет 3, а первый 4, значит, правило 3n + 1, и на 20 квадратов нужна 61 спичка.
• Треугольные числа 1, 3, 6, 10, 15 это суммы 1 + 2 + ... + n. Десятое равно (1 + 10) × 10 / 2 = 55.

Задания с разбором

Объяснение простыми словами

Задание на последовательность в ЕНТ выглядит безобидно: пять-шесть чисел и многоточие. Но именно здесь ученики теряют лёгкий балл, потому что смотрят на два последних числа, угадывают шаг и не проверяют догадку на остальных. В этой теме мы научимся распознавать семь видов правил, которые реально встречаются в вариантах, и выработаем привычку проверять правило на всём ряду. Времени на такое задание нужно меньше минуты.

Начнём с простого. 4, 9, 14, 19, ... Первое действие всегда одно: выписываем разности соседей: 9 − 4 = 5, 14 − 9 = 5, 19 − 14 = 5. Разности одинаковые, правило «прибавь 5», следующее число 24. То же самое с убывающим рядом 100, 93, 86, 79: разность −7, дальше 72. Это арифметическое правило, и его видно сразу. А вот 2, 6, 18, 54: разности 4, 12, 36 разные. Тогда проверяем деление: 6 / 2 = 3, 18 / 6 = 3, 54 / 18 = 3. Каждое число втрое больше предыдущего, дальше 162. Это геометрическое правило. Два вопроса, «что прибавили» и «на что умножили», закрывают больше половины задач.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Последовательность

Ряд чисел, идущих по порядку по какому-то правилу. У каждого числа есть номер: первое, второе, третье.

Член последовательности

Одно число ряда. Обозначают a(n), где n это его номер.

Закономерность

Правило, по которому из одних членов получаются следующие.

Разность соседей

Следующее число минус предыдущее. Первое, что выписывают, чтобы найти правило.

Арифметическое правило

К каждому числу прибавляют одно и то же d: 4, 9, 14, 19 (d = 5).

Геометрическое правило

Каждое число умножают на одно и то же q: 2, 6, 18, 54 (q = 3).

Шаг

Другое название разности d в арифметическом правиле.

Чередование действий

Действия идут по очереди: сначала ×3, потом +1, снова ×3, снова +1.

Квадраты чисел

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100: число, умноженное само на себя.

Кубы чисел

1, 8, 27, 64, 125, 216: число, умноженное само на себя три раза.

Степени двойки

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128: каждое следующее вдвое больше.

Треугольные числа

1, 3, 6, 10, 15, 21: суммы 1 + 2 + ... + n, столько шаров в треугольнике из n рядов.

Правило по номеру

Формула, где подставляют номер члена: a(n) = n² − 1 даёт 0, 3, 8, 15, 24.

Чётное и нечётное место

Иногда члены на чётных местах идут по одному правилу, на нечётных по другому. Разбирайте две ветки отдельно.

Пропущенный член

Неизвестное число внутри ряда, обычно x или y. Его находят по соседям и известному правилу.

Растущие разности

Разности сами образуют ряд: 1, 2, 3, 4 или 3, 5, 7, 9. Тогда ищут правило для разностей.

Сумма двух предыдущих

Правило вида a(n) = a(n−1) + a(n−2): 2, 5, 7, 12, 19, 31.

Таблица закономерности

Запись «номер и значение»: 1 и 3, 2 и 7, 3 и 11. Разности значений дают множитель, первое значение поправку.