Перестановки и рассадки

Главное по теме

• Правило умножения: если выбирают одно И другое (суп и второе, первая цифра и вторая), варианты перемножают. 3 супа и 4 вторых дают 3 · 4 = 12 обедов.
• Правило сложения: если выбирают одно ИЛИ другое (автобус или поезд), варианты складывают. 5 автобусов или 3 поезда дают 5 + 3 = 8 способов уехать.
• Перестановка n разных предметов в ряд: n! = n · (n − 1) · ... · 1. Четыре книги на полке можно расставить 4! = 24 способами. Запомни: 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040.
• Круглый стол: рассадки, которые отличаются только поворотом стола, считаются одинаковыми, поэтому одного человека «прибиваем» к месту и расставляем остальных: (n − 1)!. Шесть человек за круглым столом: 5! = 120, а не 720.
• «Должны сидеть рядом»: склей этих k человек в один блок, посчитай перестановку блоков, потом умножь на k! (перестановки внутри блока). Пара в ряду из 6: 5! · 2 = 240.
• «Не должны сидеть рядом»: считай через дополнение. Все рассадки минус рассадки «рядом». Пять человек, двое не рядом: 5! − 4! · 2 = 120 − 48 = 72.
• Числа из цифр с повторениями: на каждое место любая из n цифр, значит, n · n · n. Двузначных чисел из цифр 3, 5, 7, 9 с повторами 4 · 4 = 16.
• Числа из цифр без повторений: на первое место n цифр, на второе n − 1, на третье n − 2. Трёхзначных из 1, 2, 3, 4, 5 без повторов: 5 · 4 · 3 = 60.
• Условие на число (чётное, кратно 5, не начинается с нуля): сначала заполняй самое ограниченное место. Для чётного это последняя цифра, для «не с нуля» это первая. Если ограничения и в начале, и в конце, разбей на случаи и сложи.
• Расписание с закреплённым уроком: закреплённый урок уже на месте, переставляешь остальные. Шесть уроков, физкультура последняя: 5! = 120.

Задания с разбором

Объяснение простыми словами

Представь: ты с четырьмя друзьями пришёл в кино в Астане, у вас пять мест в одном ряду. Кто-то садится с краю, кто-то хочет к проходу, и начинается спор, как сесть. Сколько вообще есть вариантов? Вопрос кажется бытовым, но на ЕНТ он встречается почти в каждом варианте, только героями становятся ученики, книги на полке, уроки в расписании или цифры в числе. Все такие задачи решаются двумя правилами и одной формулой, и сегодня мы их разберём.

Начнём с главного правила, оно называется правилом умножения. Если ты делаешь два выбора подряд, и первый можно сделать m способами, а второй n способами, то вместе получается m · n способов. В столовой 3 супа и 4 вторых блюда: суп и второе берут вместе, значит, 3 · 4 = 12 разных обедов. Удобно представить это как таблицу: три строки, четыре столбца, двенадцать клеток. Союз И почти всегда означает умножение. А вот союз ИЛИ означает сложение: если из Астаны в Алматы идут 5 автобусов и 3 поезда, а ты поедешь чем-то одним, то способов 5 + 3 = 8. Проверка простая: спроси себя, выбираю я и то и другое, или только одно из двух.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Комбинаторика

Раздел математики о том, сколькими способами можно выбрать или расставить предметы.

Правило умножения

Если первое действие можно сделать m способами, а второе n способами, то оба вместе m · n способами.

Правило сложения

Если выбирают одно из двух несовместимых действий, число способов складывают: m + n.

Перестановка

Расположение всех n предметов в ряд в каком-то порядке; всего перестановок n!.

Факториал

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n, записывается n!. Например, 5! = 120.

Рассадка в ряд

Расположение людей на стульях, стоящих в линию; считается как перестановка n!.

Круговая рассадка

Расположение людей за круглым столом, где поворот стола ничего не меняет; способов (n − 1)!.

Блок

Несколько человек или предметов, которые должны стоять рядом, их считают одним объектом, а потом умножают на перестановки внутри блока.

Склеивание

Приём для условия «рядом»: объединить соседей в блок и переставлять блоки.

Дополнение

Приём для условия «не рядом» или «не вместе»: из всех вариантов вычесть те, где условие нарушено.

С повторениями

Одну и ту же цифру или предмет можно использовать несколько раз; на каждое место n вариантов.

Без повторений

Каждую цифру или предмет используют не больше одного раза; варианты на каждом следующем месте уменьшаются на 1.

Самое ограниченное место

Позиция числа, на которую условие даёт меньше всего вариантов (последняя цифра для чётности, первая для «не ноль»); её заполняют первой.

Чётное число

Число, которое заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.

Кратное пяти

Число, которое заканчивается на 0 или на 5.

Значащая первая цифра

Первая цифра многозначного числа не может быть нулём: 0123 это не четырёхзначное число.

Разбор случаев

Способ решения, когда задачу делят на несовместимые ситуации, считают каждую и складывают результаты.

Закреплённый элемент

Урок, человек или цифра, место которых задано условием; их не переставляют.