Раздел «Математическая грамотность» в спецификации НЦТ

Проценты и пропорции

Главное по теме

Процент это сотая часть. Найти p% от числа N: N × p / 100. Например, 12% от 4 500 тг это 4 500 × 12 / 100 = 540 тг.
Число по его проценту: часть делим на процент в виде десятичной дроби. Если 40% книги это 24 страницы, вся книга 24 / 0,4 = 60 страниц.
Сколько процентов a составляет от b: a / b × 100%. 28 учеников из 80 это 28 / 80 × 100% = 35%.
Скидка p%: цена × (1 − p100). Наценка p%: цена × (1 + p100). Скидка 15% это умножение на 0,85, наценка 15% это умножение на 1,15.
Две скидки подряд это два умножения, а не сумма процентов. 20% и потом 15%: × 0,8 × 0,85 = × 0,68, общая скидка 32%, а не 35%.
Изменение в процентах считается от СТАРОГО значения: (новое − старое) / старое × 100%. С 2 500 до 2 200 это −12%. Прибыль так же, от закупочной цены: купил за 1 600, продал за 2 000, прибыль 400 / 1 600 = 25%.
Простые проценты: за год сумма × ставка, за часть года пропорционально месяцам. 500 000 тг под 12% за 8 месяцев: 500 000 × 0,12 × 8 / 12 = 40 000 тг.
Прямая пропорция: больше товара, больше денег, сначала находим цену за единицу (3 кг за 1 350 тг, значит, 7 кг за 3 150 тг). Обратная: больше насосов, меньше времени, сначала считаем всю работу (6 насосов за 10 ч это 60 насосо-часов, 4 насоса за 15 ч).
Отношение 3 : 5 делит целое на 3 + 5 = 8 частей. В 2,4 кг смеси одна часть 0,3 кг, риса (5 частей) 1,5 кг, гречки (3 части) 0,9 кг.
Масштаб 1 : 50 000: 1 см на карте это 50 000 см = 500 м на местности. 6 см это 3 км. Не забывайте переводить сантиметры в метры и километры: 100 000 см = 1 км.

Задания с разбором

1.Проездной на автобус в Астане стоит 15 000 тг в месяц. Школьникам дают скидку 8%. Сколько тенге составляет скидка?

1Процент это сотая часть: 1% от 15 000 это 15 000 / 100 = 150 тг.
28% это 8 таких частей: 150 · 8 = 1 200 тг.
3Проверка одним действием: 15 000 · 0,08 = 1 200.

Ответ: 1 200 тг

2.Кроссовки стоят 25 000 тг. На них скидка 30%, а по карте Kaspi дают ещё 10% от сниженной цены. Сколько заплатит покупатель?

1Первая скидка 30%: остаётся 70% цены, 25 000 · 0,7 = 17 500 тг.
2Вторая скидка 10% считается уже от 17 500: остаётся 90%, 17 500 · 0,9 = 15 750 тг.
3Общая скидка получилась 37%, а не 40%: 25 000 − 15 750 = 9 250, и 9 250 / 25 000 = 0,37.

Ответ: 15 750 тг

3.В 10 «А» классе 50 учеников, в 10 «Б» 40. На сколько процентов в 10 «А» больше учеников, чем в 10 «Б»? И на сколько процентов в 10 «Б» меньше, чем в 10 «А»?

1Разница одна и та же: 50 − 40 = 10 учеников.
2«На сколько процентов больше» считают от меньшего, с чем сравнивают: 10 / 40 · 100% = 25%.
3«На сколько процентов меньше» считают от большего: 10 / 50 · 100% = 20%.
4Ловушка: ответы разные, потому что проценты берутся от разных чисел. Всегда смотрите, от какого числа считаете.

Ответ: В 10 «А» на 25% больше, в 10 «Б» на 20% меньше

Объяснение простыми словами

Представьте вечер в ТРЦ в Астане. На кроссовках ценник 25 000 тг и табличка «−30%», а по карте обещают ещё 10%. Друг говорит: «Итого минус 40, круто». Проверим: 25 000 × 0,7 = 17 500, потом 17 500 × 0,9 = 15 750 тг. Скидка вышла 9 250 тг от 25 000, это 37%, а не 40. Три процента на кроссовках это 750 тг, на телевизоре уже тысячи. Именно про такие вещи эта тема: проценты и пропорции встречаются в каждом варианте ЕНТ по математической грамотности, обычно это 2-3 задания из 10, и считаются они за минуту, если знать несколько правил.

Начнём с главного: процент это сотая часть. Когда говорят «12% от 4 500 тг», просят взять 12 сотых: 4 500 / 100 = 45, это один процент, умножаем на 12 и получаем 540 тг. Записывают одной формулой: N × p / 100. Обратная задача звучит так: «Айдар прочитал 24 страницы, и это 40% книги. Сколько страниц в книге?» Теперь часть известна, а целое нет. Один процент это 24 / 40 = 0,6 страницы, сто процентов это 60 страниц. Короче: делим часть на процент в виде дроби, 24 / 0,4 = 60. Третий вопрос: «28 из 80 учеников выбрали информатику, сколько это процентов?» Делим часть на целое и умножаем на сто: 28 / 80 × 100% = 35%. Три вопроса, три действия: умножаем, делим на дробь, делим часть на целое.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Доучи тему до конца в Biik

План на каждый день, видеоразборы, проверка из 8 заданий после каждой темы, пробник ЕНТ раз в месяц и ИИ-репетитор, который отвечает на вопросы. 3 дня бесплатно, без карты.

Начать бесплатно Пройти диагностику

Диагностика покажет, сколько баллов тебе не хватает до гранта и где именно. 30 заданий после короткой бесплатной регистрации.

Термины

Процент: Одна сотая часть числа, обозначается знаком %. 1% от 200 это 2.
Найти процент от числа: Умножить число на процент и разделить на 100: 15% от 2 000 это 300.
Найти число по проценту: Разделить известную часть на процент в виде дроби: если 25% это 50, то число 50 / 0,25 = 200.
Процентное отношение: Сколько процентов одно число составляет от другого: часть / целое × 100%.
Скидка: Уменьшение цены на часть, выраженную в процентах. Цена после скидки p% равна цене × (1 − p100).
Наценка: Надбавка к закупочной цене, обычно в процентах. Цена с наценкой p% равна цене × (1 + p100).
Последовательные скидки: Несколько скидок, каждая считается от уже сниженной цены. Проценты при этом не складываются.
Закупочная цена: Цена, по которой продавец купил товар. От неё считают прибыль в процентах.
Прибыль: Разница между ценой продажи и закупочной ценой, если продали дороже.
Убыток: Разница между закупочной ценой и ценой продажи, если продали дешевле.
Процентное изменение: На сколько процентов величина выросла или уменьшилась: разницу делят на старое значение.
Простые проценты: Проценты, которые каждый период начисляются на одну и ту же начальную сумму.
Годовая ставка: Процент, который начисляют за год. За несколько месяцев берут пропорциональную часть.
Переплата по кредиту: Сумма, которую заплатили сверх цены товара из-за процентов. Делится на число месяцев для платежа.
Концентрация: Сколько процентов раствора составляет вещество: масса вещества / масса раствора × 100%.
Отношение: Сравнение двух величин делением, записывается как 3 : 5 или 35.
Пропорция: Равенство двух отношений: a / b = c / d. Крест-накрест: a × d = b × c.
Прямая пропорциональность: Обе величины растут вместе в одно и то же число раз: цена и количество, путь и время при одной скорости.
Обратная пропорциональность: Одна величина растёт, другая во столько же раз уменьшается: число рабочих и время работы.
Масштаб: Отношение длины на карте к длине на местности. 1 : 100 000 значит 1 см на карте это 1 км.

Все темы: Математическая грамотность