Задачи из жизни: проценты, данные, геометрия

Главное по теме

• Проценты: 1% это число/100. Найти p% от числа N: N × p / 100. Например, 30% от 400 000 это 400 000 × 30 / 100 = 120 000.
• Скидка и наценка: цена после скидки p% равна цене × (1 - p100), после наценки цена × (1 + p100). Последовательные скидки не складываются: 20% и потом 10% дают не 30%, а 28%.
• Сколько процентов составляет a от b: (a / b) × 100%. Например, 12 девочек из 30 это 1230 = 40%, значит, мальчиков 60%.
• Рассрочка и кредит: переплата считается от суммы. 150 000 тг плюс 8% это 162 000 тг, на 12 месяцев по 13 500 тг в месяц.
• Данные: среднее = сумма / количество, медиана = середина упорядоченного ряда, мода = самое частое значение, размах = наибольшее минус наименьшее.
• Вероятность = число благоприятных исходов / число всех исходов. Из 3 красных, 5 синих и 2 зелёных шаров красный выпадет с вероятностью 310.
• Пропорция и обратная пропорциональность: больше рабочих, меньше дней. 5 рабочих за 12 дней, значит, 60 человеко-дней, 6 рабочих сделают за 10 дней.
• Масштаб 1 : 200 000: 1 см на карте это 200 000 см = 2 км на местности. Длину на карте умножайте на знаменатель масштаба и переводите в метры или километры.
• Площади и периметры: прямоугольник S = a × b, P = 2(a + b); квадрат S = a²; круг S = πr², длина окружности 2πr. Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: a² + b² = c².
• Объём и поверхность: объём параллелепипеда V = a × b × c, площадь поверхности 2(ab + bc + ac); куб с ребром a: V = a³, поверхность 6a².

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Логические задачи с числами

  Ловушка: Считают быстро, не перечитав, что именно спрашивают.

  Как решать: Перед ответом перечитай последнюю строку вопроса: что найти.

• Текстовые задачи через уравнение

  Ловушка: Забывают, что через x лет стареют оба человека.

  Как решать: Обозначь неизвестное x и запиши условие одной строкой, потом решай.

• Проценты и круговые или столбчатые диаграммы

  Ловушка: Процент считают не от той величины; проценты подряд складывают.

  Как решать: p% от числа = число · p100. Две скидки подряд перемножаются: 0,8 · 0,9.

Объяснение простыми словами

Математическая грамотность на экзамене это не про сложные формулы, а про то, как вы пользуетесь математикой в обычной жизни. Скидки в магазине, рассрочка на телефон, расход бензина, плитка на пол, карта и масштаб, средний балл за тесты. Умение быстро посчитать такие вещи нужно не только на ЕНТ, но и всю жизнь. Давайте разберём главные темы на понятных примерах.

Начнём с процентов. Процент это одна сотая часть числа. Чтобы найти 30% от 400 000 тенге, умножаем число на 30 и делим на 100, получаем 120 000. Так считают, сколько уходит на еду из семейного бюджета. Если нужно узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, делим часть на целое и умножаем на 100. В классе 30 учеников, из них 12 девочек. Делим 12 на 30, получаем 0,4, то есть 40% девочек, а мальчиков 60%. Это частая ловушка: внимательно смотрите, о ком спрашивают в вопросе.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Процент

Одна сотая часть числа, записывается знаком %.

Скидка

Уменьшение цены товара, обычно выраженное в процентах.

Наценка

Надбавка к цене товара, например торговая наценка магазина.

Рассрочка

Оплата покупки частями в течение нескольких месяцев.

Переплата

Сумма, на которую итоговая цена больше первоначальной из-за процентов.

Среднее арифметическое

Сумма всех значений, делённая на их количество.

Медиана

Число, стоящее посередине упорядоченного ряда значений.

Мода

Значение, которое встречается в ряду чаще других.

Размах

Разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда.

Вероятность

Число от 0 до 1, показывающее, насколько возможно событие.

Пропорция

Равенство двух отношений, например ab = cd.

Обратная пропорциональность

Зависимость, при которой одна величина растёт, а другая во столько же раз уменьшается.

Масштаб

Отношение длины на карте или чертеже к реальной длине.

Периметр

Сумма длин всех сторон фигуры.

Площадь

Величина, показывающая, сколько места занимает фигура на плоскости, измеряется в квадратных единицах.

Объём

Величина, показывающая, сколько места занимает тело в пространстве, измеряется в кубических единицах.

Площадь поверхности

Сумма площадей всех граней тела, нужна, например, чтобы оклеить или покрасить коробку.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Гипотенуза

Самая длинная сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.

Радиус

Расстояние от центра круга до его границы.

Числовая последовательность

Набор чисел, идущих в определённом порядке по какому-то правилу.

Арифметическая прогрессия

Последовательность, в которой каждое число отличается от предыдущего на одно и то же число (разность прогрессии).

Принцип Дирихле

Если предметов больше, чем ящиков, хотя бы в одном ящике окажется не меньше двух предметов.

Столбчатая диаграмма

График, где значения показаны высотой столбиков, удобный для сравнения данных.