Метрические соотношения в пространстве

Главное по теме

• Куб с ребром a: V = a³, площадь поверхности S = 6a², диагональ a√3. Прямоугольный параллелепипед a, b, c: V = abc, S = 2(ab + bc + ac), диагональ √a² + b² + c².
• Призма: V = S основания · h. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру основания, умноженному на высоту.
• Пирамида: V = ⅓ · S основания · h. У правильной пирамиды площадь боковой поверхности равна ½ · периметр основания · апофема.
• Цилиндр: V = πr²h, боковая поверхность 2πrh, полная 2πr(r + h). Для r = 2, h = 5 объём 20π.
• Конус: V = ⅓πr²h, боковая поверхность πrl, где l образующая и l² = r² + h². Для r = 6, l = 10 высота 8.
• Шар: V = 43·πr³, площадь сферы S = 4πr². Для r = 3 объём 36π, для r = 2 площадь сферы 16π.
• Рёбра: у треугольной пирамиды 6 рёбер, 4 грани, 4 вершины; у куба 12 рёбер, 6 граней, 8 вершин. Формула Эйлера: В - Р + Г = 2.
• Подобные тела: если линейные размеры изменить в k раз, площади меняются в k², а объёмы в k³ раз.

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Круглые тела: цилиндр, конус, шар

  Ловушка: Путают объём с площадью поверхности; у конуса забывают 13.

  Как решать: Четыре формулы наизусть: V цил = πr²h, V кон = πr²h3, V шара = 4πr³/3, S сферы = 4πr².

• Многогранники: куб, призма, пирамида

  Ловушка: У пирамиды забывают 13; диагональ куба путают с диагональю грани.

  Как решать: V призмы = S основания · h, V пирамиды = S основания · h / 3. Диагональ куба a√3, грани a√2.

• Несколько ответов: сложная стереометрия

  Ловушка: Длину пространственной диагонали считают по формуле плоской.

  Как решать: Диагональ прямоугольного параллелепипеда: d = √a² + b² + c².

Объяснение простыми словами

Метрические соотношения в пространстве это формулы объёмов и площадей поверхностей. На экзамене тебе почти всегда дан чертёж или описание тела, и надо найти один из его размеров: объём, площадь поверхности, высоту. Все формулы можно разложить на три группы: многогранники (куб, параллелепипед, призма, пирамида), круглые тела (цилиндр, конус, шар) и вопросы «выбери все верные утверждения» про сложные тела. Начнём с первой группы.

Для прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b, c объём равен произведению V = abc, а полная поверхность S = 2(ab + bc + ac), ведь у него три пары одинаковых граней. Для параллелепипеда 2 × 3 × 4 объём равен 24. Диагональ находят по теореме Пифагора, применённой дважды: d = √a² + b² + c². У параллелепипеда с рёбрами 1, 2, 2 диагональ равна √1 + 4 + 4 = 3. Куб это частный случай: V = a³, S = 6a², диагональ a√3. Для куба с ребром 3 площадь поверхности 6·9 = 54, а для ребра 2 объём 8 и диагональ 2√3.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Многогранник

Тело, поверхность которого составлена из многоугольников.

Грань

Плоский многоугольник, из которых состоит поверхность многогранника.

Ребро

Отрезок, по которому соединяются две грани.

Вершина

Точка, в которой сходятся рёбра многогранника.

Призма

Многогранник с двумя равными параллельными основаниями и боковыми гранями-параллелограммами.

Прямая призма

Призма, боковые рёбра которой перпендикулярны основаниям.

Параллелепипед

Призма, в основании которой параллелограмм; у него шесть граней.

Куб

Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны.

Пирамида

Многогранник с многоугольником в основании и боковыми гранями-треугольниками с общей вершиной.

Правильная пирамида

Пирамида с правильным многоугольником в основании, вершина которой проецируется в его центр.

Апофема

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины.

Высота тела

Расстояние между основанием и верхней точкой или верхним основанием по перпендикуляру.

Диагональ параллелепипеда

Отрезок между двумя вершинами, не лежащими в одной грани.

Цилиндр

Тело, образованное вращением прямоугольника вокруг его стороны.

Конус

Тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг катета.

Образующая

Отрезок на боковой поверхности цилиндра или конуса; у конуса это расстояние от вершины до края основания.

Шар

Тело, состоящее из всех точек пространства, удалённых от центра не больше чем на радиус.

Сфера

Поверхность шара, все её точки на одинаковом расстоянии от центра.

Площадь боковой поверхности

Сумма площадей всех граней, кроме оснований.

Площадь полной поверхности

Сумма площадей всех граней, включая основания.

Объём

Мера части пространства, которую занимает тело; измеряется в кубических единицах.

Осевое сечение

Сечение тела вращения плоскостью, проходящей через ось.

Вписанный шар

Шар, который касается всех граней многогранника или поверхности тела.