Раздел «Стереометрия» в спецификации НЦТ

Фигуры в пространстве

Главное по теме

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость. Через прямую и точку вне её, через две пересекающиеся и через две параллельные прямые тоже ровно одна плоскость.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Пересечение двух плоскостей это прямая.
Две прямые в пространстве: пересекаются, параллельны или скрещиваются. Скрещивающиеся не лежат в одной плоскости, не пересекаются и не параллельны.
Прямая и плоскость: лежит в плоскости, пересекает её в одной точке или параллельна (общих точек нет). Если прямая параллельна плоскости, то общих точек у них 0.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, значит, перпендикулярна всей плоскости и любой прямой в ней.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Если плоскости параллельны, то любая прямая в одной из них параллельна другой плоскости.
Признак перпендикулярности плоскостей: если одна плоскость проходит через перпендикуляр к другой, то плоскости перпендикулярны. Прямая в одной из перпендикулярных плоскостей, перпендикулярная линии пересечения, перпендикулярна второй плоскости.
Теорема о трёх перпендикулярах: прямая в плоскости перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции наклонной.

Задания с разбором

1.Из точки A на плоскость опущен перпендикуляр AH = 8, наклонная AB = 17. Найди проекцию HB.

1Перпендикуляр AH и проекция HB образуют с наклонной AB прямоугольный треугольник.
2AB это гипотенуза: HB² = AB² − AH² = 289 − 64 = 225.
3HB = 15.

Ответ: 15

2.Из точки на плоскость опущен перпендикуляр длиной 5 и проведена наклонная длиной 13. Найди проекцию наклонной.

1Перпендикуляр, наклонная и проекция образуют прямоугольный треугольник, наклонная в нём гипотенуза.
2Проекция² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
3Проекция = √144 = 12.

Ответ: 12

Объяснение простыми словами

Стереометрия начинается с простого вопроса: как могут быть расположены точки, прямые и плоскости в обычном трёхмерном пространстве? Планиметрия имеет дело с листом бумаги, а здесь появляется ещё одно измерение, и прежние привычки перестают работать. Например, две прямые, которые не пересекаются, на плоскости обязательно параллельны, а в пространстве это уже не так. Поэтому очень важно хорошо знать несколько базовых правил: они составляют основу всех задач на расположение фигур.

Начнём с аксиом, то есть правил, которые принимаются без доказательства. Первое: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость. Вспомни фотоштатив с тремя ножками: он никогда не шатается, а стул с четырьмя ножками иногда шатается, потому что четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Отсюда следуют полезные выводы: через прямую и точку вне её проходит одна плоскость, через две пересекающиеся прямые тоже одна, и через две параллельные тоже одна. Значит, на вопрос о том, сколько плоскостей можно провести через прямую и точку, не лежащую на ней, ответ: ровно одну.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Доучи тему до конца в Biik

План на каждый день, видеоразборы, проверка из 8 заданий после каждой темы, пробник ЕНТ раз в месяц и ИИ-репетитор, который отвечает на вопросы. 3 дня бесплатно, без карты.

Начать бесплатно Пройти диагностику

Диагностика покажет, сколько баллов тебе не хватает до гранта и где именно. 30 заданий после короткой бесплатной регистрации.

Термины

Стереометрия: Раздел геометрии, который изучает фигуры в пространстве.
Аксиома: Утверждение, которое принимается без доказательства, потому что оно очевидно из опыта.
Плоскость: Ровная поверхность без толщины, бесконечная во все стороны.
Скрещивающиеся прямые: Прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны, то есть не лежат в одной плоскости.
Параллельные прямые: Прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Параллельность прямой и плоскости: Прямая и плоскость не имеют общих точек.
Параллельные плоскости: Плоскости, которые не имеют общих точек.
Линия пересечения: Общая прямая двух пересекающихся плоскостей.
Перпендикуляр к плоскости: Прямая, перпендикулярная любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Основание перпендикуляра: Точка, в которой перпендикуляр пересекает плоскость.
Наклонная: Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная ей.
Проекция: Образ точки или фигуры, получаемый опусканием перпендикуляров на плоскость.
Расстояние от точки до плоскости: Длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Угол между прямой и плоскостью: Угол между прямой и её проекцией на плоскость.
Двугранный угол: Фигура из двух полуплоскостей с общей граничной прямой, которая называется ребром.
Линейный угол двугранного угла: Угол между двумя перпендикулярами к ребру, проведёнными в обеих гранях из одной точки ребра; им измеряют двугранный угол.
Перпендикулярные плоскости: Плоскости, которые пересекаются под прямым двугранным углом.
Теорема о трёх перпендикулярах: Связывает перпендикулярность наклонной и её проекции к прямой на плоскости.
Ломаная в пространстве: Цепочка отрезков, которая не обязана лежать в одной плоскости.
Сечение: Фигура, которая получается при пересечении тела плоскостью.
Пространственная фигура: Фигура, не все точки которой лежат в одной плоскости.
Пересекающиеся прямые: Прямые, имеющие ровно одну общую точку; через них проходит единственная плоскость.

Все темы: Математика