Векторы и преобразования в пространстве

Главное по теме

• Пространственная система координат: три оси x, y, z, точка задаётся тройкой A(x; y; z). Три координатные плоскости: xy (z = 0), xz (y = 0), yz (x = 0).
• Координаты вектора AB: из координат конца вычесть координаты начала. A(1; 2; 2), B(4; 6; 2): AB(3; 4; 0).
• Длина вектора a(x; y; z): |a| = √x² + y² + z². Расстояние между точками A и B это длина вектора AB. Вектор a(2; -1; 2) имеет длину 3.
• Середина отрезка AB: полусумма соответствующих координат, M(x₁ + x₂2; y₁ + y₂2; z₁ + z₂2).
• Действия с векторами: складываются и вычитаются покоординатно, при умножении на число k каждая координата умножается на k.
• Скалярное произведение a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = |a||b|cos φ. Векторы перпендикулярны, если a·b = 0. Для a(1; 2; z) и b(2; -1; 3): 2 - 2 + 3z = 0, значит z = 0.
• Коллинеарные векторы пропорциональны: a = k·b, то есть x₁x₂ = y₁y₂ = z₁z₂ (если знаменатели не нулевые).
• Симметрия точки A(x; y; z): относительно начала (-x; -y; -z), относительно плоскости xy (x; y; -z), относительно оси x (x; -y; -z), относительно оси z (-x; -y; z).

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Векторы: координаты, длина, скалярное произведение

  Ловушка: Перпендикулярность: скалярное произведение равно нулю, а не единице.

  Как решать: a · b = x₁x₂ + y₁y₂ (+ z₁z₂). Равно 0, значит векторы перпендикулярны.

Объяснение простыми словами

На плоскости любую точку можно задать двумя числами. В пространстве нужно три, потому что добавляется высота. Для этого берут три взаимно перпендикулярные оси x, y, z, которые пересекаются в начале координат O(0; 0; 0). Точка A(3; -2; 5) означает: от начала пройди 3 вдоль оси x, минус 2 вдоль y и 5 вверх вдоль z. Раздел о векторах в пространстве, по сути, повторяет то, что ты знаешь о векторах на плоскости, только в каждой формуле появляется ещё одна, третья, координата. Это важная мысль: ничего принципиально нового учить не надо.

Вектор это отрезок со стрелкой: у него есть длина и направление. Если известны начало A и конец B, координаты вектора AB получаются вычитанием: из координат конца вычитаем координаты начала. Для A(1; 2; 2) и B(4; 6; 2) вектор AB равен (4 - 1; 6 - 2; 2 - 2) = (3; 4; 0). Самая частая ошибка в этом месте перепутать порядок и вычесть наоборот, тогда ответ получится с противоположным знаком. Запомни простую фразу: конец минус начало.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Система координат

Способ задавать положение точки числами относительно осей и начала.

Начало координат

Точка O(0; 0; 0), где пересекаются все три оси.

Ось координат

Числовая прямая, проходящая через начало координат: x (абсцисс), y (ординат) или z (аппликат).

Координатная плоскость

Плоскость, проходящая через две оси, например xy.

Радиус-вектор

Вектор от начала координат до точки; его координаты равны координатам точки.

Вектор

Направленный отрезок, который имеет длину и направление.

Координаты вектора

Три числа, которые показывают сдвиг вдоль каждой из осей.

Нулевой вектор

Вектор (0; 0; 0), у которого начало и конец совпадают.

Равные векторы

Векторы с одинаковыми координатами; их длины и направления совпадают.

Противоположные векторы

Векторы одной длины, направленные в противоположные стороны; их координаты отличаются знаком.

Длина вектора

Корень из суммы квадратов его координат.

Расстояние между точками

Длина отрезка, соединяющего две точки; вычисляется по их координатам.

Сложение векторов

Действие, при котором складываются соответствующие координаты.

Умножение вектора на число

Действие, при котором каждая координата умножается на это число.

Коллинеарные векторы

Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых; координаты пропорциональны.

Компланарные векторы

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости.

Скалярное произведение

Число, равное сумме произведений одноимённых координат двух векторов.

Угол между векторами

Угол между их направлениями; его косинус равен скалярному произведению, делённому на произведение длин.

Перпендикулярные векторы

Векторы, угол между которыми 90°; их скалярное произведение равно нулю.

Симметрия относительно точки

Преобразование, при котором точка переходит в точку по другую сторону от центра на том же расстоянии.

Симметрия относительно плоскости

Отражение, при котором точка переходит в точку напротив неё по другую сторону плоскости.

Параллельный перенос

Сдвиг всех точек фигуры на один и тот же вектор.

Движение

Преобразование, сохраняющее расстояния между точками, например перенос, поворот и симметрия.