Раздел «Планиметрия» в спецификации НЦТ

Метрические соотношения. Векторы и преобразования

Главное по теме

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике c² = a² + b². Тройки 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10, 8-15-17 стоит помнить наизусть.
Площадь треугольника: S = ½·a·h = ½·a·b·sin C. Равносторонний со стороной a: S = a²√34. Прямоугольный: S = ½·катет·катет.
Теорема косинусов: c² = a² + b² - 2ab·cos C. Теорема синусов: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, где R радиус описанной окружности.
Площади четырёхугольников: параллелограмм S = a·h = a·b·sin α; ромб S = d₁·d₂2; трапеция S = a + b2·h; прямоугольник S = ab.
Окружность: длина C = 2πr, площадь круга S = πr². Сектор с углом n°: S = πr²·n360. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.
Вектор a(x; y): длина |a| = √x² + y². Координаты вектора AB равны координатам конца минус координаты начала. Середина отрезка это полусумма координат.
Скалярное произведение a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = |a||b|cos φ. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение равно нулю.
Преобразования: параллельный перенос, поворот и симметрия сохраняют длины и углы. Гомотетия с коэффициентом k меняет длины в |k| раз, а площади в k² раз.

Задания с разбором

1.Катеты прямоугольного треугольника 8 и 15. Найди гипотенузу.

1c² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289.
2c = √289 = 17.

Ответ: 17

2.Основание треугольника 12, высота к нему 7. Найди площадь.

1Дано основание и высота к нему, значит берём S = 12 · a · h.
2S = 12 · 12 · 7 = 6 · 7 = 42.

Ответ: 42

3.В треугольнике ABC угол A = 30°, угол B = 60°, BC = 6. Найди AC.

1Известна сторона BC против угла A и нужна сторона AC против угла B: пара сторона и угол, значит теорема синусов.
2AC / sin 60° = 6 / sin 30°.
3AC = 6 · (√32) / (12) = 6√3.

Ответ: 6√3

Где теряют баллы

Треугольники: стороны, углы, площадь
Ловушка: Пифагора применяют к непрямоугольному треугольнику.
Как решать: Помни тройки 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17. Площадь через угол: S = ½ab sin C.
Четырёхугольники и многоугольники
Ловушка: Площадь трапеции считают как произведение оснований.
Как решать: Трапеция: a + b2 · h. Ромб: d₁d₂2. Сложную фигуру режь на треугольники.

Объяснение простыми словами

Метрические соотношения это формулы, которые связывают длины, углы и площади. Звучит строго, но по сути это набор инструментов для расчётов: найти сторону, угол или площадь. Если выучить около двадцати формул и понять, когда какая нужна, большая часть задач по планиметрии на экзамене решается быстро. Вот главные из них и примеры применения.

Начнём с самого знаменитого: теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если катеты 6 и 8, то гипотенуза равна √36 + 64 = √100 = 10. Если известна гипотенуза 13 и катет 5, то другой катет √169 - 25 = √144 = 12. Полезно запомнить готовые тройки: 3, 4, 5, затем 5, 12, 13, затем 8, 15, 17. Увидел такие числа, и считать вообще не нужно. Вместе с ними ходят и их кратные, как 6, 8, 10.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Доучи тему до конца в Biik

План на каждый день, видеоразборы, проверка из 8 заданий после каждой темы, пробник ЕНТ раз в месяц и ИИ-репетитор, который отвечает на вопросы. 3 дня бесплатно, без карты.

Начать бесплатно Пройти диагностику

Диагностика покажет, сколько баллов тебе не хватает до гранта и где именно. 30 заданий после короткой бесплатной регистрации.

Термины

Гипотенуза: Самая длинная сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.
Катет: Сторона прямоугольного треугольника, прилегающая к прямому углу.
Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Синус угла: В прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус угла: В прямоугольном треугольнике отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла: Отношение противолежащего катета к прилежащему, то есть sin к cos.
Теорема косинусов: Связывает три стороны треугольника и угол между двумя из них; обобщает теорему Пифагора.
Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Высота: Перпендикуляр из вершины на противоположную сторону; по ней считают площадь.
Формула Герона: Площадь по трём сторонам: S = √p(p - a)(p - b)(p - c), где p полупериметр.
Параллелограмм: Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны.
Ромб: Параллелограмм с равными сторонами; его диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
Трапеция: Четырёхугольник с двумя параллельными сторонами, которые называют основаниями.
Средняя линия трапеции: Отрезок между серединами боковых сторон; равна полусумме оснований.
Радиус: Расстояние от центра окружности до любой её точки.
Сектор: Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.
Радиан: Единица угла: π радиан равны 180°.
Вектор: Направленный отрезок, который имеет длину и направление.
Координаты вектора: Пара чисел, показывающая сдвиг по оси x и оси y.
Длина вектора: Корень из суммы квадратов его координат.
Скалярное произведение: Число, равное сумме произведений одноимённых координат двух векторов.
Коллинеарные векторы: Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых; их координаты пропорциональны.
Гомотетия: Преобразование подобия: все расстояния от центра умножаются на одно и то же число.
Симметрия: Преобразование, при котором фигура отражается относительно прямой или точки.

Все темы: Математика