Геометрические фигуры и их расположение

Главное по теме

• Сумма углов треугольника 180°. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Смежные углы дают в сумме 180°, вертикальные равны.
• Параллельные прямые и секущая: накрест лежащие углы равны, соответственные равны, односторонние в сумме 180°.
• Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника (n - 2)·180°. Сумма внешних углов, по одному при вершине, всегда 360°. У шестиугольника 720°, у пятиугольника 540°, у восьмиугольника 1080°.
• Число диагоналей выпуклого n-угольника n(n - 3)2: у пятиугольника 5, у шестиугольника 9, у восьмиугольника 20.
• Правильный n-угольник: все стороны и углы равны, каждый угол (n - 2)·180°/n. У правильного пятиугольника 108°, шестиугольника 120°, восьмиугольника 135°.
• Окружность: центральный угол равен дуге, на которую опирается. Вписанный угол равен половине дуги. Вписанный угол на диаметр равен 90°. Дуга 80° даёт вписанный угол 40°.
• Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Отрезки касательных из одной точки равны.
• Четырёхугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных углов 180°. Описать вокруг окружности можно, если суммы противоположных сторон равны.

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Соответствие: элементы фигур

  Ловушка: Число диагоналей многоугольника считают как n(n − 1)2.

  Как решать: Диагоналей n(n − 3)2, сумма углов (n − 2) · 180°, внешние углы всегда 360°.

Объяснение простыми словами

Планиметрия изучает фигуры на плоскости: углы, прямые, треугольники, многоугольники и окружности. В этой теме важно знать, какие у фигур есть элементы и как они расположены друг относительно друга. Экзамен любит задания на соответствие: даётся фигура, например пятиугольник, и надо к каждому вопросу подобрать верный ответ. Поэтому полезно заранее выучить небольшой набор фактов и формул, которые применяются снова и снова.

Начнём с углов. Смежные углы образуются, когда луч выходит из точки на прямой, и вместе они составляют развёрнутый угол 180°. Если один из смежных углов 110°, второй 70°. Вертикальные углы, которые получаются при пересечении двух прямых, равны между собой. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные равны, а односторонние в сумме дают 180°. Именно из этого следует, что сумма углов треугольника 180°. Например, если два угла треугольника 50° и 60°, третий равен 180° - 110° = 70°.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Смежные углы

Два угла с общей стороной, у которых другие стороны составляют прямую; их сумма 180°.

Вертикальные углы

Углы, образованные пересечением двух прямых и лежащие напротив; они равны.

Параллельные прямые

Прямые на плоскости, которые не пересекаются сколько их ни продолжай.

Секущая

Прямая, пересекающая две другие прямые.

Накрест лежащие углы

Пара углов по разные стороны от секущей между двумя прямыми; при параллельных прямых равны.

Внешний угол

Угол, смежный с внутренним углом многоугольника.

Выпуклый многоугольник

Многоугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через его сторону.

Диагональ

Отрезок, соединяющий две вершины многоугольника, не лежащие на одной стороне.

Правильный многоугольник

Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы.

Равнобедренный треугольник

Треугольник с двумя равными сторонами; углы при основании тоже равны.

Медиана

Отрезок от вершины треугольника до середины противоположной стороны.

Биссектриса

Луч, делящий угол пополам.

Высота

Перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону или её продолжение.

Средняя линия

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника; она параллельна третьей стороне и вдвое короче.

Окружность

Множество точек плоскости, одинаково удалённых от центра.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности; самая длинная хорда это диаметр.

Центральный угол

Угол с вершиной в центре окружности; он равен дуге, на которую опирается.

Вписанный угол

Угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают её; равен половине дуги.

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку; перпендикулярна радиусу в этой точке.

Вписанная окружность

Окружность внутри многоугольника, касающаяся всех его сторон.

Описанная окружность

Окружность, проходящая через все вершины многоугольника.

Подобные фигуры

Фигуры одинаковой формы, у которых соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны.