Начала анализа. Задачи на моделирование

Главное по теме

• Таблица производных: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1x, константа даёт 0.
• Правила: (u + v)' = u' + v', (u·v)' = u'v + uv', (uv)' = u'v - uv'v². Сложная функция: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x). Пример: ((2x + 1)³)' = 3(2x + 1)²·2.
• Геометрический смысл производной: f'(x₀) это угловой коэффициент касательной в точке x₀, то есть тангенс угла наклона касательной к оси x.
• Уравнение касательной: y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀). Для y = x² - 3x в точке 2 получается y = x - 4.
• Первообразная: F'(x) = f(x). ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C при n ≠ -1, ∫(1x)dx = ln|x| + C, ∫cos x dx = sin x + C, ∫sin x dx = -cos x + C.
• Формула Ньютона-Лейбница: ∫baf(x)dx = F(b) - F(a). Например, ∫π0sin x dx = 2.
• Площадь фигуры между графиками: S = ∫ba(верхняя функция - нижняя функция)dx. Между y = x² и y = 4 площадь равна 323.
• Свойства функций: чётная f(-x) = f(x), симметрична относительно оси y (x², cos x); нечётная f(-x) = -f(x), симметрична относительно начала (x³, sin x). Область определения: знаменатель не равен нулю, под корнем неотрицательное, под логарифмом положительное.

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Неопределённый интеграл (первообразная)

  Ловушка: Не делят на новый показатель степени или забывают + C.

  Как решать: Возьми производную от варианта ответа: должна получиться функция под интегралом. Так проверяется любой вариант за 10 секунд.

• Производная и её значение в точке

  Ловушка: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹ путают с первообразной; производная константы не ноль.

  Как решать: Таблица производных: (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1x.

• Определённый интеграл (Ньютон-Лейбниц)

  Ловушка: Считают F(a) − F(b) вместо F(b) − F(a).

  Как решать: Верхний предел минус нижний. Если нижний 0, второе слагаемое часто просто 0.

Объяснение простыми словами

Начала анализа это три главных инструмента: производная, первообразная и интеграл. Плюс умение переводить жизненные задачи на язык математики. На экзамене сюда относятся задачи про касательную, про площадь фигуры, про вычисление интеграла, про свойства функций и сюжетное задание из пяти вопросов по одному тексту. Разберём всё по порядку, на простых примерах.

Производная показывает, как быстро меняется функция. Если ты едешь на машине, производная пути по времени это скорость. Чтобы находить производные, нужна таблица. Степень: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, поэтому (5x²)' = 10x, а (x³ - 3x + 1)' = 3x² - 3. Дальше (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1x. Производная числа без x равна нулю. Для суммы производные просто складываются. Для произведения нужна формула (u·v)' = u'v + uv'.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Производная

Скорость изменения функции в точке; показывает, как быстро растёт или убывает значение.

Дифференцирование

Действие, при котором находят производную функции.

Угловой коэффициент

Число k в уравнении прямой y = kx + b; оно равно тангенсу угла наклона прямой.

Касательная

Прямая, которая касается графика функции в данной точке и повторяет его направление.

Точка касания

Точка, в которой касательная имеет общую точку с графиком.

Сложная функция

Функция внутри функции, например (2x + 1)³; её производная находится по цепному правилу.

Экстремум

Максимум или минимум функции; в таких точках производная равна нулю или не существует.

Возрастание функции

Участок, на котором большему x соответствует большее значение функции; там производная положительна.

Убывание функции

Участок, на котором значение падает при росте x; там производная отрицательна.

Первообразная

Функция F, производная которой равна заданной функции f.

Неопределённый интеграл

Общий вид всех первообразных: F(x) + C.

Константа интегрирования

Число C, которое добавляют к первообразной, потому что производная постоянной равна нулю.

Определённый интеграл

Число, равное разности значений первообразной на концах отрезка: F(b) - F(a).

Формула Ньютона-Лейбница

Правило вычисления определённого интеграла через первообразную.

Криволинейная трапеция

Фигура под графиком функции между осью x и двумя вертикальными прямыми.

Площадь через интеграл

Площадь фигуры, которую находят как интеграл от разности верхней и нижней функций.

Чётная функция

Функция, у которой f(-x) = f(x); её график симметричен относительно оси y.

Нечётная функция

Функция, у которой f(-x) = -f(x); её график симметричен относительно начала координат.

Область определения

Все значения x, при которых функцию можно вычислить.

Область значений

Все значения, которые функция может принимать.

Вершина параболы

Точка поворота графика квадратичной функции; её абсцисса равна -b2a.

Математическая модель

Описание реальной ситуации с помощью чисел, формул и уравнений.

Средняя скорость

Весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время.