Арифметическая и геометрическая прогрессии

Главное по теме

• Арифметическая прогрессия: каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа d (разность). aₙ = a₁ + (n - 1)d.
• Сумма первых n членов арифметической: Sₙ = (a₁ + aₙ)·n2 = (2a₁ + (n - 1)d)·n2. Сумма чисел от 1 до 100 равна 5050.
• Характеристическое свойство арифметической: каждый член равен среднему соседних, aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁2. Также aᵢ + aⱼ = aₖ + aₘ, если i + j = k + m.
• Геометрическая прогрессия: каждый следующий член получается умножением на одно и то же число q (знаменатель, не равный нулю). bₙ = b₁·qⁿ⁻¹.
• Сумма первых n членов геометрической (при q ≠ 1): Sₙ = b₁(qⁿ - 1)q - 1. При q = 1 сумма равна n·b₁.
• Характеристическое свойство геометрической: bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁. Знаменатель находят как q = b₂b₁.
• Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: |q| < 1, сумма S = b₁1 - q. Пример: b₁ = 6, q = 13 даёт S = 6/(23) = 9.
• Как узнать вид: если разность соседних членов постоянна, прогрессия арифметическая; если постоянно отношение соседних, геометрическая. Последовательность aₙ = 2n + 3 арифметическая с d = 2.

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Арифметическая и геометрическая прогрессии

  Ловушка: aₙ = a₁ + (n − 1)d: умножают на n вместо n − 1.

  Как решать: Между aₖ и aₘ ровно (m − k) шагов: d = aₘ − aₖm − k.

• Соответствие: прогрессии

  Ловушка: Формулы суммы арифметической и геометрической путают.

  Как решать: Арифметическая: Sₙ = (a₁ + aₙ)n2. Геометрическая: Sₙ = b₁(qⁿ − 1)q − 1.

• Несколько ответов: прогрессии

  Ловушка: Не проверяют каждое утверждение отдельно.

  Как решать: Выпиши первые 4-5 членов прогрессии, почти все утверждения проверяются по ним.

Объяснение простыми словами

Последовательность это просто список чисел, выстроенных по порядку, где у каждого числа есть свой номер. Первый член обозначают a₁, второй a₂, и так далее. На экзамене по математике два вида последовательностей встречаются постоянно: арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия. Они устроены очень просто, и если выучить несколько формул и понять идею, задачи решаются за минуту.

Начнём с арифметической прогрессии. Идея такая: к каждому числу прибавляют одно и то же. Это число называют разностью и обозначают буквой d. Возьмём прогрессию 3, 7, 11, 15, ... Здесь первый член 3, а разность 4. Чтобы найти десятый член, не надо выписывать всю цепочку. Достаточно сделать девять шагов по четыре от первого члена: a₁₀ = 3 + 9·4 = 39. Общая формула: aₙ = a₁ + (n - 1)d. Обрати внимание на множитель (n - 1): от первого члена до n-го всего n - 1 шагов, а не n. Это самая частая ошибка.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Числовая последовательность

Набор чисел, записанных в определённом порядке; у каждого есть номер.

Член последовательности

Одно число последовательности, обозначается aₙ, где n это номер.

Формула n-го члена

Формула, по которой можно найти любой член, зная только его номер.

Рекуррентная формула

Формула, которая выражает следующий член через предыдущие.

Арифметическая прогрессия

Последовательность, где каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и то же число.

Разность прогрессии

Число d, которое прибавляют к каждому члену арифметической прогрессии: d = a₂ - a₁.

Возрастающая прогрессия

Арифметическая прогрессия с d > 0, члены растут.

Убывающая прогрессия

Арифметическая прогрессия с d < 0, члены уменьшаются.

Сумма n членов

Результат сложения первых n членов прогрессии, обозначается Sₙ.

Среднее арифметическое

Сумма чисел, делённая на их количество; каждый член арифметической прогрессии равен среднему двух соседних.

Геометрическая прогрессия

Последовательность, где каждый член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Знаменатель прогрессии

Число q, на которое умножают каждый член геометрической прогрессии: q = b₂b₁.

Первый член

Число, с которого начинается прогрессия: a₁ или b₁.

Знакочередующаяся прогрессия

Геометрическая прогрессия с q < 0, у неё знаки членов чередуются.

Бесконечно убывающая прогрессия

Геометрическая прогрессия, у которой модуль знаменателя меньше единицы.

Сумма бесконечной прогрессии

Число, к которому приближаются суммы при увеличении числа членов: S = b₁1 - q.

Модуль числа

Расстояние от числа до нуля; |q| < 1 означает, что q лежит между -1 и 1.

Среднее геометрическое

Корень из произведения двух чисел; средний член положительной геометрической прогрессии равен ему.

Ограниченная последовательность

Последовательность, все члены которой лежат между некоторыми двумя числами.

Монотонная последовательность

Последовательность, которая только растёт или только убывает.

Факториал

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n, обозначается n!; встречается в некоторых последовательностях.

Сложные проценты

Рост, при котором процент начисляется на уже выросшую сумму; это пример геометрической прогрессии.