Системы неравенств

Главное по теме

• Система неравенств: нужны значения x, которые подходят всем неравенствам сразу. Ответ это пересечение (общая часть) решений каждого.
• Алгоритм: реши каждое неравенство отдельно, отметь решения на одной числовой прямой, выбери общую часть.
• Пример: x + 3 > 0 и 2x ≤ 8 дают x > -3 и x ≤ 4. Ответ: (-3; 4].
• Если общей части нет, у системы нет решений. Например, x > 5 и x < 2: ответ пустое множество.
• Двойное неравенство -3 < 2x - 1 ≤ 5 это система двух неравенств. Прибавь 1 ко всем частям, потом раздели на 2: -1 < x ≤ 3.
• Количество целых решений: выпиши целые числа из промежутка и не забудь про выколотые концы и исключённые значения (x ≠ 2).
• Модуль: |x - 1| < 2 равносильно -2 < x - 1 < 2, то есть -1 < x < 3. А |x| > a даёт x < -a или x > a.
• Ловушка: строгие концы выколоты (круглая скобка), нестрогие закрашены (квадратная). Бесконечность всегда с круглой скобкой.

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Система неравенств

  Ловушка: Берут объединение вместо общей части; путают круглую и квадратную скобку.

  Как решать: Нарисуй числовую прямую, заштрихуй оба решения, ответ там, где штриховки две.

Объяснение простыми словами

Система неравенств это просто несколько условий, которые должны работать одновременно. Представь, что ты выбираешь кафе: оно должно быть не дальше пяти минут пешком и при этом дешевле двух тысяч тенге. Подходят только те места, где выполнены оба условия. С числами всё точно так же: ты ищешь значения x, которые удовлетворяют первому неравенству и второму, и третьему, если оно есть. Математики говорят, что ответ это пересечение множеств решений, а по-простому это общая часть.

Алгоритм всегда один и тот же, и его стоит выучить как таблицу умножения. Шаг первый: решаем каждое неравенство отдельно и приводим к виду x больше чего-то или x меньше чего-то. Шаг второй: рисуем одну числовую прямую и отмечаем решения каждого неравенства своей штриховкой, лучше разными цветами или чёрточками сверху и снизу. Шаг третий: смотрим, где штриховки накладываются друг на друга. Это и есть ответ. Если накладывающихся мест нет, система не имеет решений.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Система неравенств

Несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно для одного и того же x.

Решение системы

Значение переменной, которое подходит каждому неравенству системы.

Пересечение множеств

Общая часть двух множеств, то есть элементы, которые есть в обоих.

Объединение множеств

Все элементы, которые есть хотя бы в одном из множеств; записывается знаком ∪.

Числовая прямая

Прямая, на которой отмечают числа; на ней удобно искать общую часть решений.

Числовой промежуток

Множество чисел между двумя границами, например (-3; 4].

Интервал

Промежуток без концов, записывается круглыми скобками: (a; b).

Отрезок

Промежуток с обоими концами, записывается квадратными скобками: [a; b].

Полуинтервал

Промежуток, где один конец входит, а другой нет: (a; b] или [a; b).

Бесконечность

Символ ∞ показывает, что промежуток не ограничен; скобка рядом с ним всегда круглая.

Строгое неравенство

Знак < или >; граница в решение не входит.

Нестрогое неравенство

Знак ≤ или ≥; граница входит в решение.

Двойное неравенство

Запись вида a < f(x) < b, которая означает сразу два неравенства.

Пустое множество

Множество без элементов; так отвечают, когда у системы нет решений.

Целое решение

Решение, которое является целым числом: ... -2, -1, 0, 1, 2 ...

Модуль числа

Расстояние от числа до нуля на прямой, всегда неотрицательное: |-3| = 3.

Квадратное неравенство

Неравенство вида ax² + bx + c > 0; решается через корни и параболу.

Метод интервалов

Способ решения, где нули выражения делят прямую на промежутки со своим знаком.

Показательное неравенство

Неравенство с переменной в показателе степени, например 2ˣ > 4.

Логарифмическое неравенство

Неравенство с переменной под логарифмом; у него обязательна область определения x > 0 для log x.

Область определения

Значения x, при которых все выражения в неравенстве имеют смысл.

Исключённое значение

Число, которое запрещено условием, например x ≠ 2; его выкалывают из промежутка.