Раздел «Неравенства» в спецификации НЦТ

Линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические неравенства

Главное по теме

Линейное неравенство решается как уравнение, но при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: -2x > 6 даёт x < -3.
Квадратное неравенство: найди корни x₁ и x₂, нарисуй параболу. Если a > 0 и знак >, ответ вне корней: x < x₁ или x > x₂. Знак <, ответ между корнями.
Метод интервалов: нули числителя и знаменателя на числовую прямую, проверь знак в одной точке, дальше знаки чередуются (в корне чётной кратности знак не меняется).
Рациональное неравенство x - 2x + 1 ≥ 0: нули числителя закрашены (если нестрогое), нули знаменателя всегда выколоты. Ответ: x < -1 или x ≥ 2.
Иррациональное √f(x) < g(x): нужны три условия сразу: f(x) ≥ 0, g(x) > 0, f(x) < (g(x))².
Показательное: aˣ > aʸ. Если a > 1, знак сохраняется (x > y). Если 0 < a < 1, знак меняется (x < y).
Логарифмическое: сначала область определения (под логарифмом строго больше нуля). При основании больше 1 знак сохраняется, при основании от 0 до 1 меняется: log₀,₅ x > 1 даёт 0 < x < 0,5.
Типичная ловушка: забыть про область определения (знаменатель не равен нулю, корень неотрицателен, логарифм положителен) и неверно поставить скобки в ответе.

Задания с разбором

1.Реши неравенство 4x − 3 ≥ 9.

1Переносим −3 вправо: 4x ≥ 12.
2Делим на 4, число положительное, знак остаётся.
3x ≥ 3, то есть [3; +∞).

Ответ: x ≥ 3

2.Реши неравенство x² − 7x + 12 < 0.

1Корни уравнения x² − 7x + 12 = 0: 3 и 4.
2Ветви параболы вверх, значит значения меньше нуля между корнями.
3Знак строгий, концы не входят.

Ответ: (3; 4)

3.Реши неравенство x − 6x + 2 < 0.

1Нули: 6 (числитель) и −2 (знаменатель), обе точки выколоты.
2Правее 6 знак плюс, между −2 и 6 минус, левее −2 плюс.
3Нужен минус: промежуток между точками.

Ответ: (−2; 6)

Где теряют баллы

Рациональное неравенство (метод интервалов)
Ловушка: Точки из знаменателя включают в ответ; не учитывают, что при чётной степени знак не меняется.
Как решать: Возьми одно число из варианта ответа и подставь: если неравенство не выполнилось, вариант отпал.
Показательное или логарифмическое неравенство
Ловушка: При основании меньше 1 знак неравенства надо развернуть.
Как решать: Основание больше 1: знак сохраняется. Меньше 1: переворачивается.

Объяснение простыми словами

Неравенство отличается от уравнения одной важной вещью: ответом обычно служит не одно число, а целый промежуток. Например, неравенству x > 3 подходит и 3,1, и 100, и миллион. Поэтому в конце мы всегда записываем ответ как промежуток на числовой прямой, и на ЕНТ чаще всего просят именно выбрать правильный промежуток из вариантов. Давай разберём по порядку все виды неравенств, которые встречаются.

Начнём с линейных. Решаем так же, как уравнение: переносим числа в одну сторону, переменную в другую. Единственное отличие, о которое спотыкаются чаще всего: если ты делишь или умножаешь обе части на отрицательное число, знак неравенства разворачивается. Возьмём -2x > 6. Делим на -2 и получаем x < -3. Проверь на числах: 5 больше 3, а если умножить обе части на -1, то -5 уже меньше -3. Знак перевернулся, потому что порядок чисел на прямой зеркально меняется.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Доучи тему до конца в Biik

План на каждый день, видеоразборы, проверка из 8 заданий после каждой темы, пробник ЕНТ раз в месяц и ИИ-репетитор, который отвечает на вопросы. 3 дня бесплатно, без карты.

Начать бесплатно Пройти диагностику

Диагностика покажет, сколько баллов тебе не хватает до гранта и где именно. 30 заданий после короткой бесплатной регистрации.

Термины

Неравенство: Запись, где два выражения сравниваются знаками <, >, ≤ или ≥.
Решение неравенства: Значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Строгое неравенство: Неравенство со знаком < или >, концы промежутка в ответе не входят, скобки круглые.
Нестрогое неравенство: Неравенство со знаком ≤ или ≥, концы входят в ответ, скобки квадратные.
Равносильные неравенства: Неравенства, у которых одинаковое множество решений.
Линейное неравенство: Неравенство вида ax + b > 0, где переменная только в первой степени.
Квадратное неравенство: Неравенство вида ax² + bx + c > 0, где a не равно нулю.
Дискриминант: Число D = b² - 4ac, по нему узнают, сколько корней у квадратного трёхчлена.
Корень трёхчлена: Значение x, при котором трёхчлен равен нулю; на графике это точка пересечения с осью x.
Парабола: График квадратичной функции; при a > 0 ветви вверх, при a < 0 вниз.
Метод интервалов: Способ, при котором нули выражения делят прямую на промежутки, и в каждом проверяется знак.
Числовая прямая: Прямая, на которой отмечают числа и промежутки решений.
Выколотая точка: Точка на прямой, которая в решение не входит; рисуется пустым кружком.
Рациональное неравенство: Неравенство, где выражение составлено из многочленов и дробей с переменной в знаменателе.
Область определения: Все значения x, при которых выражение вообще имеет смысл.
Иррациональное неравенство: Неравенство, в котором переменная стоит под знаком корня.
Показательное неравенство: Неравенство, где переменная стоит в показателе степени, например 2ˣ > 8.
Логарифмическое неравенство: Неравенство, где переменная стоит под знаком логарифма.
Основание степени: Число, которое возводится в степень; от его величины (больше 1 или меньше 1) зависит знак неравенства.
Логарифм: Показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить данное число: log₂ 8 = 3.
Монотонная функция: Функция, которая только растёт или только убывает; на этом держится правило смены знака.
Объединение промежутков: Запись ответа в виде двух и более промежутков, соединённых знаком ∪ или словом «или».

Все темы: Математика