Системы тригонометрических, иррациональных, показательных, логарифмических уравнений

Главное по теме

• Основная идея: свести показательную или логарифмическую систему к обычной алгебраической системе для x и y. Для этого используют свойства степеней и логарифмов.
• Показательное равенство при одном основании: если aˣ = aʸ, то x = y (a > 0, a ≠ 1). Для 3ˣ = 9ʸ записываем 9ʸ = 3²ʸ, получаем x = 2y.
• Свойство степеней: aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ. Система 2ˣ · 2ʸ = 32 и x - y = 1 даёт x + y = 5, и вместе с x - y = 1 находим x = 3, y = 2.
• Свойство логарифмов: logₐ x + logₐ y = logₐ(xy). Из log₂ x + log₂ y = 3 получаем xy = 2³ = 8.
• Для lg x + lg y = 2 имеем xy = 10² = 100. Десятичный логарифм lg это логарифм по основанию 10.
• Если известна сумма и произведение, неизвестные находят как корни уравнения t² - st + p = 0. Для x + y = 6 и xy = 8 получаем t² - 6t + 8 = 0, корни 2 и 4.
• Система 2ˣ + 2ʸ = 12 и x + y = 5: произведение 2ˣ · 2ʸ = 2⁵ = 32. Числа 2ˣ и 2ʸ дают сумму 12 и произведение 32, это 4 и 8, значит x и y равны 2 и 3, xy = 6.
• Область определения: у логарифмов аргументы x и y должны быть положительными, основание положительно и не равно единице. Решение, где x или y не больше нуля, отбрасывают.
• Показательное выражение aˣ всегда положительно, поэтому если получилось aˣ = отрицательное число или нуль, решений нет.
• После нахождения пары (x; y) подставь её в оба исходных уравнения. Для lg x + lg y = 2 и x - y = 15 получаем y = 5, x = 20, x + y = 25.

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Система показательных или логарифмических уравнений

  Ловушка: Не проверяют ОДЗ логарифмов у найденной пары.

  Как решать: Показательную систему сводят к линейной через степени: 2ˣ · 2ʸ = 2^{x + y}.

Объяснение простыми словами

Системы показательных и логарифмических уравнений звучат страшно, но решаются они по простой схеме: превратить всё в обычную систему и решить её знакомым способом. Для этого нужно только помнить свойства степеней и логарифмов. Начнём с показательной системы. Пусть дано 3ˣ = 9ʸ и x + y = 6. В первом уравнении обе части можно записать степенями тройки, ведь 9 = 3². Тогда 9ʸ = (3²)ʸ = 3²ʸ, и уравнение превращается в 3ˣ = 3²ʸ. Если основания одинаковы, то равны и показатели: x = 2y. Подставляем во второе уравнение: 2y + y = 6, 3y = 6, y = 2, x = 4. Пара (4; 2). Проверка: 3⁴ = 81 и 9² = 81, да, и 4 + 2 = 6, тоже да.

Дальше главное свойство: при умножении степеней с одним основанием показатели складываются, 2ˣ · 2ʸ = 2ˣ⁺ʸ. Оно полезно в задачах вроде 2ˣ · 2ʸ = 32 и x - y = 1. Левая часть это 2ˣ⁺ʸ, правая 32 = 2⁵, поэтому x + y = 5. Теперь у нас простая линейная система: {x + y = 5x - y = 1. Складываем: 2x = 6, x = 3, y = 2. Видишь, что показательная система превратилась в линейную всего одним шагом. Так же 2ˣ : 2ʸ = 2ˣ⁻ʸ, а (2ˣ)ʸ = 2ˣʸ.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Показательная система

Система уравнений, в которой неизвестные стоят в показателях степеней.

Логарифмическая система

Система уравнений, в которой неизвестные стоят под знаками логарифмов.

Показательное уравнение

Уравнение, где неизвестное находится в показателе степени, например 3ˣ = 9.

Логарифмическое уравнение

Уравнение, где неизвестное находится под знаком логарифма, например log₂ x = 3.

Логарифм

Показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить число. log₂ 8 = 3.

Десятичный логарифм

Логарифм по основанию 10, обозначается lg. lg 100 = 2.

Приведение к одному основанию

Запись обеих частей показательного равенства степенями одного числа, после чего показатели приравнивают.

Равенство показателей

Если aˣ = aʸ при допустимом основании a, то x = y. На этом строится решение показательных уравнений.

Произведение степеней

При умножении степеней с одним основанием показатели складываются: aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ.

Сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одним основанием равна логарифму произведения аргументов.

Разность логарифмов

Разность логарифмов с одним основанием равна логарифму частного аргументов.

Потенцирование

Переход от равенства логарифмов к равенству их аргументов или от логарифма к числу по определению.

Метод подстановки

Способ решения системы: одно неизвестное выражают через другое и подставляют в оставшееся уравнение.

Метод сложения

Способ решения системы: уравнения складывают так, чтобы исключить одно неизвестное.

Замена переменных

Приём: выражения 2ˣ и 2ʸ обозначают буквами u и v и решают систему относительно u и v.

Теорема Виета

Связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами; помогает найти числа по сумме и произведению.

Область определения

Значения неизвестных, при которых все логарифмы имеют смысл. Аргументы должны быть строго положительными.

Посторонний корень

Найденное значение, которое не входит в область определения и поэтому не может быть решением.

Проверка решения

Подстановка найденных значений в каждое уравнение системы, чтобы убедиться, что они подходят.

Упорядоченная пара

Запись решения (x; y), в которой важен порядок чисел.

Положительность степени

Степень с положительным основанием всегда больше нуля, поэтому aˣ не может быть равно нулю или отрицательному числу.