Системы линейных и нелинейных уравнений

Главное по теме

• Решение системы - пара чисел (x; y), которая обращает в верное равенство каждое уравнение. Решить систему значит найти все такие пары или показать, что их нет.
• Метод подстановки: выразить одну переменную из одного уравнения и подставить в другое. Для x - y = 1 и x² + y² = 13 берём x = y + 1 и получаем (y + 1)² + y² = 13.
• Метод сложения: уравнения умножают на числа так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, и складывают. 2x + y = 7 и x - y = 2 дают 3x = 9, x = 3, y = 1.
• Система двух линейных уравнений имеет: одно решение (прямые пересекаются), ни одного (прямые параллельны), бесконечно много (прямые совпадают). Пример совпадения: x + y = 4 и 2x + 2y = 8.
• Симметричные системы: {x + y = sxy = p. Тогда x и y корни уравнения t² - st + p = 0. Для x + y = 5, xy = 6 корни 2 и 3, пары (2; 3) и (3; 2).
• Через сумму и произведение считают выражения: x² + y² = (x + y)² - 2xy. При x + y = 5, xy = 6 получаем 25 - 12 = 13.
• Система «линейное и квадратное»: из линейного выражают переменную и подставляют в квадратное. Получается квадратное уравнение, у которого два корня, один или ни одного.
• Графический смысл: каждое уравнение задаёт линию, решения системы это точки пересечения линий. y = x² и y = 2x пересекаются в точках (0; 0) и (2; 4).
• Всегда проверяй решения подстановкой в оба уравнения. Для пары из теста с вариантами ответов подставляй каждую пару в оба уравнения, одного уравнения мало.
• Ответ записывают парами в правильном порядке (x; y). В вопросе «найди x + y» или «найди xy» считай именно то, что просят, а не только x.

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Система алгебраических уравнений

  Ловушка: В ответе просят x + y или x · y, а выбирают саму пару.

  Как решать: Сложи или вычти уравнения. Проверь вариант подстановкой в оба уравнения.

• Несколько ответов: системы уравнений

  Ловушка: У нелинейной системы находят одну пару из двух.

  Как решать: Выражай одну переменную и подставляй; у системы с квадратом обычно две пары решений.

Объяснение простыми словами

Одно уравнение с двумя неизвестными, например x + y = 5, имеет бесконечно много решений: (1; 4), (2; 3), (0; 5) и так далее. Чтобы ответ стал определённым, добавляют второе уравнение. Вместе они образуют систему, а решением системы называют пару чисел, которая подходит обоим уравнениям одновременно. Получив пару, всегда подставляй её в оба уравнения. Пара, которая подходит только под одно уравнение, не годится, ведь система требует обоих равенств сразу.

Самый универсальный способ это подстановка. Из одного уравнения выражаем одно неизвестное, подставляем в другое и получаем уравнение с одним неизвестным. Возьмём систему x - y = 1 и x² + y² = 13. Из первого x = y + 1. Подставляем во второе: (y + 1)² + y² = 13, то есть 2y² + 2y + 1 = 13, откуда y² + y - 6 = 0. По теореме Виета корни y = 2 и y = -3. Тогда x = y + 1 даёт x = 3 и x = -2. Получили два решения: (3; 2) и (-2; -3). Проверим первое: 3 - 2 = 1 и 9 + 4 = 13. Верно. Второе: -2 - (-3) = 1 и 4 + 9 = 13. Тоже верно.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Система уравнений

Несколько уравнений с одними и теми же неизвестными, которые должны выполняться одновременно.

Решение системы

Набор значений неизвестных, который обращает в верное равенство все уравнения системы сразу.

Равносильные системы

Системы, у которых одинаковые наборы решений.

Метод подстановки

Способ решения: одно неизвестное выражают через другое и подставляют в оставшееся уравнение.

Метод сложения

Способ решения: уравнения почленно складывают, чтобы исключить одно из неизвестных.

Метод замены переменных

Способ решения: повторяющиеся выражения обозначают новыми буквами, чтобы упростить систему.

Линейное уравнение с двумя неизвестными

Уравнение вида ax + by = c. Его графиком служит прямая.

Система линейных уравнений

Система, в которой все уравнения линейные. Для двух неизвестных ищут точку пересечения двух прямых.

Нелинейное уравнение

Уравнение, в котором неизвестные входят в степени выше первой или в произведении, например xy = 6.

Совместная система

Система, у которой есть хотя бы одно решение.

Несовместная система

Система без решений. Например, x + y = 1 и x + y = 2 не могут выполняться одновременно.

Неопределённая система

Система с бесконечным множеством решений, например две пропорциональные записи одной прямой.

Коэффициент

Числовой множитель при неизвестном. В уравнении 3x - 2y = 4 коэффициенты равны 3 и -2.

Симметричная система

Система, которая не меняется при замене x на y и наоборот, например x + y = 5, xy = 6.

Теорема Виета

Сумма корней t² + pt + q = 0 равна -p, а произведение равно q. Она позволяет решать симметричные системы.

Упорядоченная пара

Запись (x; y), где порядок важен: пары (2; 3) и (3; 2) разные решения.

Точка пересечения графиков

Точка, принадлежащая сразу обеим линиям. Её координаты это решение системы.

Парабола

График квадратичной функции, симметричная кривая. Парабола y = x² имеет вершину в начале координат.

Окружность

Множество точек на заданном расстоянии от центра. Уравнение x² + y² = r² задаёт окружность с центром в начале координат.

Проверка решения

Подстановка найденной пары в каждое уравнение системы для убеждения, что она подходит.

Определитель системы

Число, составленное из коэффициентов; если оно не равно нулю, система двух линейных уравнений имеет единственное решение.