Показательные и логарифмические уравнения

Главное по теме

• Логарифм logₐ b - показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b: logₐ b = c значит aᶜ = b. Условия: a > 0, a ≠ 1, b > 0. Пример: log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8.
• Основное логарифмическое тождество: a^{logₐ b} = b. Например, 5^{log₅ 7} = 7. Также logₐ 1 = 0 и logₐ a = 1.
• Логарифм произведения: logₐ(bc) = logₐ b + logₐ c. Логарифм частного: logₐ(bc) = logₐ b - logₐ c. Пример: log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ 36 = 2.
• Логарифм степени: logₐ(bᵏ) = k · logₐ b. Формула перехода к другому основанию: logₐ b = log_c b / log_c a. Обратная связь: logₐ b = 1 / log_b a.
• Десятичный логарифм lg b = log₁₀ b (lg 1000 = 3). Натуральный логарифм ln b = log_e b, где e ≈ 2,718.
• Показательное уравнение aˣ = aᵏ решается приведением к одному основанию: x = k. Пример: 3^{x - 1} = 27 = 3³, значит x - 1 = 3 и x = 4. Для 4ˣ = 8 записываем 2²ˣ = 2³, x = 32.
• Показательное уравнение aˣ = b при b ≤ 0 не имеет корней, так как aˣ всегда положительно. Если основание не приводится, используют логарифм: x = logₐ b.
• Логарифмическое уравнение logₐ f(x) = c превращается в f(x) = aᶜ. Пример: log₂ x = 5 даёт x = 32; log₂(x - 1) = 3 даёт x - 1 = 8 и x = 9.
• Уравнение logₐ f = logₐ g равносильно f = g при условии f > 0, g > 0 (одного из условий достаточно). Пример: log₂(x + 3) = log₂(2x - 1) даёт x = 4.
• Область определения обязательна: аргумент логарифма строго положителен. Решив уравнение, проверь корни. В log₂(x - 1) + log₂(x + 1) = 3 получаем x² - 1 = 8, x = ±3, но подходит только x = 3.

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Показательное, логарифмическое или иррациональное уравнение

  Ловушка: Посторонние корни и ОДЗ: под логарифмом только положительное, корень не бывает отрицательным.

  Как решать: Приведи к одному основанию. Сомневаешься в ответе: подставь его.

• Логарифмическое уравнение

  Ловушка: Забывают ОДЗ: корень, при котором логарифм от отрицательного, оставляют.

  Как решать: log a + log b = log ab. Каждый найденный корень проверь на ОДЗ.

Объяснение простыми словами

Показательные и логарифмические уравнения связаны, как умножение и деление. Начнём со степеней. Если 2ˣ = 32, то нужно понять, сколько двоек перемножить, чтобы получить 32. Считаем: 2, 4, 8, 16, 32, это пять двоек, значит, x = 5. Именно такой вопрос задаёт логарифм. Запись log₂ 32 = 5 читается так: «в какую степень надо возвести 2, чтобы получить 32». Другими словами, logₐ b = c означает aᶜ = b. Условия такие: основание a положительно и не равно единице, а число под знаком логарифма строго положительно. Поэтому log₂(-4) не существует, ведь двойка в любой степени даёт положительное число.

Простые значения надо считать устно. log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. log₃(19) = -2, потому что 3⁻² = 19. lg 1000 = 3, где lg означает логарифм по основанию 10. Ещё логарифм единицы по любому основанию равен нулю (потому что a⁰ = 1), а логарифм самого основания равен единице. Основное логарифмическое тождество a^{logₐ b} = b говорит, что возведение в степень и логарифм отменяют друг друга: 5^{log₅ 7} = 7.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Логарифм

Показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.

Основание логарифма

Число a в записи logₐ b. Оно положительно и не равно единице.

Аргумент логарифма

Число b в записи logₐ b, от которого берут логарифм. Оно всегда строго положительно.

Десятичный логарифм

Логарифм по основанию 10. Обозначается lg: lg 100 = 2.

Натуральный логарифм

Логарифм по основанию e (около 2,718). Обозначается ln.

Основное логарифмическое тождество

Равенство a^{logₐ b} = b, верное при допустимых a и b.

Логарифм произведения

Равен сумме логарифмов множителей: logₐ(bc) = logₐ b + logₐ c.

Логарифм частного

Равен разности логарифмов числителя и знаменателя: logₐ(bc) = logₐ b - logₐ c.

Логарифм степени

Показатель степени выносится множителем: logₐ(bᵏ) = k · logₐ b.

Переход к новому основанию

Формула logₐ b = log_c b / log_c a, позволяющая заменить основание логарифма на удобное.

Показательное уравнение

Уравнение, в котором неизвестное стоит в показателе степени, например 2ˣ = 32.

Логарифмическое уравнение

Уравнение, в котором неизвестное стоит под знаком логарифма.

Показательная функция

Функция y = aˣ при a > 0 и a ≠ 1. Её значения всегда положительны.

Логарифмическая функция

Функция y = logₐ x, обратная показательной. Определена только при x > 0.

Приведение к одному основанию

Приём решения показательных уравнений: обе части записывают степенями одного числа.

Потенцирование

Переход от равенства логарифмов к равенству их аргументов: из logₐ f = logₐ g следует f = g.

Область определения уравнения

Значения x, при которых все логарифмы в уравнении имеют смысл, то есть аргументы положительны.

Посторонний корень

Найденное значение, которое не входит в область определения и поэтому не является решением.

Замена переменной

Приём, при котором выражение обозначают новой буквой, например 2ˣ = t, и уравнение становится квадратным относительно t.

Возрастающая функция

Функция, у которой большему значению аргумента соответствует большее значение. Логарифм при основании больше единицы возрастает.

Число e

Постоянная, примерно равная 2,718. Она служит основанием натуральных логарифмов.