Тригонометрические и иррациональные уравнения

Главное по теме

• Простейшие тригонометрические уравнения: sin x = a и cos x = a имеют решения только при |a| ≤ 1. Уравнение sin x = 32 решений не имеет.
• cos x = a: x = ±arccos a + 2πn, n целое. Частные случаи: cos x = 0 даёт x = π/2 + πn; cos x = 1 даёт x = 2πn; cos x = -1 даёт x = π + 2πn.
• sin x = a: x = (-1)ⁿ · arcsin a + πn. Частные случаи: sin x = 0 даёт x = πn; sin x = 1 даёт x = π/2 + 2πn; sin x = -1 даёт x = -π/2 + 2πn.
• tg x = a: x = arctg a + πn при любом a. Пример: tg x = 1 даёт x = π/4 + πn. Тангенс не определён там, где cos x = 0.
• Арксинус a это угол из отрезка [-π/2; π/2], синус которого равен a. Арккосинус a это угол из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Например, arccos(12) = π/3.
• Метод разложения на множители: sin 2x = cos x превращается в 2 sin x cos x - cos x = 0, то есть cos x (2 sin x - 1) = 0. Решаем отдельно cos x = 0 и sin x = 12.
• Метод замены: уравнение 2cos²x - 3cos x + 1 = 0 решается заменой t = cos x. Получается 2t² - 3t + 1 = 0, t = 1 или t = 12. Посторонние значения |t| > 1 отбрасывают.
• Иррациональное уравнение √f(x) = g(x) равносильно системе: {f(x) = g(x)²g(x) ≥ 0. Условие f(x) ≥ 0 выполняется само. Проверка условия g(x) ≥ 0 обязательна.
• Уравнение √f = отрицательное число решений не имеет, так как корень не бывает отрицательным. √x - 5 = -2 корней не имеет.
• Область допустимых значений: для √4 - x нужно 4 - x ≥ 0, то есть x ≤ 4. После возведения в квадрат обязательно проверяй корни: посторонние корни здесь обычное дело.

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Тригонометрическое уравнение

  Ловушка: sin x = 2 решают, хотя |sin x| ≤ 1; теряют πn.

  Как решать: Подставь в уравнение одно значение из варианта (при n = 0) и проверь.

Объяснение простыми словами

Тригонометрические уравнения решают, опираясь на единичную окружность. Начнём с самого простого: cos x = 0. Косинус это абсцисса точки на окружности (её координата по горизонтальной оси), а она равна нулю в точках, соответствующих углам 90° и 270°, то есть π/2 и 3π/2. Но мы можем обойти окружность любое число раз, поэтому корней бесконечно много, и записываем их формулой x = π/2 + πn, где n любое целое число. Одна формула покрывает и π/2, и 3π/2, ведь они отличаются на π. Подставь n = 0, 1, 2, -1 и увидишь π/2, 3π/2, 5π/2, -π/2.

Для синуса и косинуса есть общие формулы. Уравнение cos x = a имеет решения x = ±arccos a + 2πn. Уравнение sin x = a имеет решения x = (-1)ⁿ · arcsin a + πn. Арккосинус a это угол от 0 до π, косинус которого равен a, а арксинус угол от -π/2 до π/2. Например, arccos(12) = π/3, и тогда cos x = 12 даёт x = ±π/3 + 2πn. Для sin x = 12 получаем x = (-1)ⁿ · π/6 + πn, это серии π/6 + 2πn и 5π/6 + 2πn. Все эти формулы работают только при |a| не больше 1. Уравнения sin x = 32 или cos x = -2 решений не имеют, и этим пользуются в тестовых вопросах: если видишь число по модулю больше единицы, ответ «нет корней».

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Тригонометрическое уравнение

Уравнение, в котором неизвестное стоит под знаком тригонометрической функции.

Простейшее тригонометрическое уравнение

Уравнение вида sin x = a, cos x = a, tg x = a или ctg x = a.

Арксинус

Угол из отрезка от -π/2 до π/2, синус которого равен данному числу. Определён для чисел от -1 до 1.

Арккосинус

Угол из отрезка от 0 до π, косинус которого равен данному числу. Определён для чисел от -1 до 1.

Арктангенс

Угол из интервала от -π/2 до π/2, тангенс которого равен данному числу. Определён для любого числа.

Общее решение

Запись всех корней одной формулой с целым параметром n, например x = π/2 + πn.

Целое число n

Параметр в общем решении, который может быть любым целым числом: 0, 1, -1, 2 и так далее.

Период

Число, через которое значения функции повторяются. У синуса и косинуса это 2π, у тангенса π.

Серия корней

Бесконечный набор корней, который записывается одной формулой с параметром n.

Отбор корней на промежутке

Подстановка целых значений n в общее решение и выбор тех корней, что лежат в заданном отрезке.

Разложение на множители

Приём решения: переносят всё в одну часть, выносят общий множитель и приравнивают каждый множитель к нулю.

Замена переменной

Приём решения: тригонометрическую функцию обозначают буквой t и решают обычное уравнение относительно t.

Формула двойного угла

Равенство sin 2x = 2 sin x cos x, которое часто сводит уравнение к произведению.

Единичная окружность

Окружность радиусом 1. По ней находят углы с нужным синусом или косинусом.

Иррациональное уравнение

Уравнение, в котором неизвестное стоит под знаком корня.

Возведение в квадрат

Приём решения иррационального уравнения. Он даёт уравнение-следствие, поэтому нужна проверка корней.

Посторонний корень

Число, которое получилось после возведения в квадрат, но не удовлетворяет исходному уравнению.

Область допустимых значений

Значения x, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Для √4 - x это x ≤ 4.

Арифметический корень

Неотрицательное значение корня, поэтому он не может равняться отрицательному числу.

Равносильная система

Набор условий, имеющий те же корни, что и уравнение. Для √f = g это f = g² и g ≥ 0.

Уравнение-следствие

Уравнение, получаемое преобразованием, которое сохраняет все корни, но может добавлять лишние.