Линейные, квадратные, дробно-рациональные уравнения

Главное по теме

• Линейное уравнение ax + b = 0: при a ≠ 0 единственный корень x = -ba. При a = 0 и b = 0 корней бесконечно много, при a = 0 и b ≠ 0 корней нет. Пример: 3x - 7 = 11, x = 6.
• Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Дискриминант D = b² - 4ac. Если D > 0, два корня; D = 0, один корень; D < 0, действительных корней нет.
• Формула корней: x = -b ± √D2a. При чётном b удобен D₁ = (b2)² - ac и x = (-b2 ± √D₁) / a.
• Теорема Виета для x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = -p, x₁ · x₂ = q. Для ax² + bx + c = 0 сумма корней -ba, произведение ca. Для x² - 7x + 10 = 0 сумма равна 7.
• Неполные квадратные уравнения: ax² + bx = 0 даёт x(ax + b) = 0, корни 0 и -ba; ax² + c = 0 даёт x² = -ca, корни ±√-ca, если -ca ≥ 0. Пример: 2x² - 8 = 0, x = ±2.
• Дробно-рациональное уравнение: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет. x + 2x - 1 = 0 даёт x = -2.
• Алгоритм для дробного уравнения: найти значения, при которых знаменатели равны нулю (они запрещены), умножить обе части на общий знаменатель, решить полученное, проверить корни на запрещённые значения.
• Посторонний корень: xx - 3 = 3x - 3 после умножения даёт x = 3, но x = 3 обращает знаменатель в нуль, значит, корней нет.
• Количество корней по дискриминанту часто спрашивают в тесте. x² + 4x + 5 = 0: D = 16 - 20 = -4 меньше нуля, действительных корней нет.
• Уравнение с параметром: от значения параметра зависит число корней. Для x² - 4x + a = 0: D = 16 - 4a; два корня при a < 4, один при a = 4, ни одного при a > 4.

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Целое или дробно-рациональное уравнение

  Ловушка: Корень, при котором знаменатель равен нулю, оставляют в ответе.

  Как решать: Подставь варианты ответа в уравнение: часто это быстрее, чем решать.

• Соответствие: уравнения, в том числе с параметром

  Ловушка: «Один корень» у квадратного уравнения означает D = 0, про это забывают.

  Как решать: Квадратное уравнение: D > 0 два корня, D = 0 один, D < 0 нет корней.

Объяснение простыми словами

Уравнение это вопрос: при каком значении неизвестного равенство станет верным? Такое значение называют корнем. Решить уравнение значит найти все корни. Главный принцип такой: с обеими частями уравнения можно делать одно и то же, например прибавить число или умножить на число, не равное нулю, и корни от этого не меняются. Начнём с самого простого, линейного уравнения. Для 3x - 7 = 11 переносим -7 вправо с обратным знаком, получаем 3x = 18, и делим на три: x = 6. Проверка: 3 · 6 - 7 = 11. Верно. Если коэффициент при x равен нулю, возможны два случая: 0 · x = 0 верно при любом x, а 0 · x = 5 неверно ни при каком x, корней нет.

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, причём a не равно нулю. Решают его через дискриминант D = b² - 4ac. Есть три случая. Если D больше нуля, у уравнения два разных корня. Если D равно нулю, корень один. Если D меньше нуля, действительных корней нет, потому что из отрицательного числа нельзя извлечь корень. Формула корней: x = -b ± √D2a. Решим x² - 5x + 6 = 0. Здесь a = 1, b = -5, c = 6, D = 25 - 24 = 1. Тогда x = 5 ± 12, то есть x = 3 или x = 2. А в уравнении x² + 4x + 5 = 0 дискриминант равен 16 - 20 = -4, значит, действительных корней нет. Вопрос «сколько корней» в тесте решается одним подсчётом дискриминанта, не нужно искать сами корни.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Уравнение

Равенство с неизвестным, значение которого нужно найти.

Корень уравнения

Значение неизвестного, при подстановке которого получается верное равенство.

Решить уравнение

Найти все его корни или доказать, что корней нет.

Равносильные уравнения

Уравнения, у которых одни и те же корни. Равносильные преобразования не меняют множество корней.

Линейное уравнение

Уравнение вида ax + b = 0, где неизвестное стоит в первой степени.

Квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a не равно нулю.

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение, у которого старший коэффициент a равен единице: x² + px + q = 0.

Дискриминант

Число D = b² - 4ac. По его знаку определяют, сколько действительных корней у квадратного уравнения.

Неполное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, в котором b = 0 или c = 0. Решается без дискриминанта.

Теорема Виета

Связь корней и коэффициентов: для x² + px + q = 0 сумма корней равна -p, произведение равно q.

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа x₁ и x₂ имеют сумму -p и произведение q, то они корни уравнения x² + px + q = 0.

Рациональное уравнение

Уравнение, в котором обе части это рациональные выражения, то есть многочлены или дроби из них.

Дробно-рациональное уравнение

Рациональное уравнение с неизвестным в знаменателе.

Общий знаменатель

Выражение, которое делится на знаменатели всех дробей. На него умножают обе части дробного уравнения.

Область допустимых значений

Значения неизвестного, при которых все выражения в уравнении имеют смысл. Знаменатель не может равняться нулю.

Посторонний корень

Число, которое получилось при решении, но не подходит к исходному уравнению, например обращает знаменатель в нуль.

Проверка корней

Подстановка найденных значений в исходное уравнение или проверка по области допустимых значений.

Параметр

Буква в уравнении, которая обозначает произвольное, но фиксированное число. Ответ зависит от его значения.

Разложение на множители

Приём решения: уравнение приводят к виду, где произведение множителей равно нулю, и приравнивают каждый множитель к нулю.

Замена переменной

Приём, при котором повторяющееся выражение обозначают новой буквой, чтобы получить более простое уравнение.

Уравнение-следствие

Уравнение, у которого есть все корни исходного, но могут появиться и лишние. Поэтому нужна проверка.