Алгебраические выражения, формулы сокращённого умножения

Главное по теме

• Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b². Квадрат разности: (a - b)² = a² - 2ab + b². Средний член 2ab никогда не забывай: (a + 3)² = a² + 6a + 9.
• Разность квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b). Пример: x² - 49 = (x - 7)(x + 7). Удобно для счёта: 51² - 49² = (51 - 49)(51 + 49) = 200.
• Сумма и разность кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²), a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). Пример: a³ - 8 = (a - 2)(a² + 2a + 4).
• Куб суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Куб разности: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
• Одночлен - произведение чисел и букв в степенях. Подобные члены отличаются только коэффициентом: 3x² и -5x² складываются в -2x². Многочлен - сумма одночленов.
• Разложение квадратного трёхчлена: x² + px + q = (x - x₁)(x - x₂), где x₁ и x₂ корни. По теореме Виета x₁ + x₂ = -p, x₁ · x₂ = q. Пример: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
• Способы разложения на множители: вынести общий множитель, группировка, формулы сокращённого умножения, разложение трёхчлена. Проверка: раскрой скобки и сравни.
• Сокращение дроби: числитель и знаменатель раскладывают на множители и сокращают общие. x² - 9x + 3 = (x - 3)x + 3x + 3 = x - 3, при x ≠ -3.
• Сложение дробей: приводи к общему знаменателю, потом складывай числители. Деление дроби на дробь заменяется умножением на перевёрнутую: (xy - yx) : (x - y) = x + yxy.
• Перед подстановкой числа сначала упрости выражение. x² - 6x + 9 = (x - 3)², при x = 103 получаем 100² = 10000. Дробь имеет смысл только там, где знаменатель не равен нулю.

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Упростить буквенное выражение и найти значение

  Ловушка: Подставляют число сразу в громоздкое выражение и ошибаются в счёте.

  Как решать: Сначала упрости, потом подставь. Или подставь число в каждый вариант ответа и сравни.

• Одночлены и многочлены: раскрыть, привести подобные

  Ловушка: Минус перед скобкой: меняют знак только у первого слагаемого.

  Как решать: Проверка подстановкой: поставь x = 1 в исходное выражение и в ответ, числа должны совпасть.

• Преобразование алгебраических дробей

  Ловушка: Сокращают слагаемые, а не множители.

  Как решать: Сначала разложи числитель и знаменатель на множители, потом сокращай.

Объяснение простыми словами

Алгебраические выражения это язык, на котором записывают правила, не привязанные к конкретным числам. Буква в выражении заменяет любое число. Простейший кирпичик это одночлен: произведение числа и букв, например 5x² или -3ab. Число в начале называют коэффициентом. Сумма одночленов называется многочленом. Основное умение здесь приведение подобных слагаемых: те, у которых одинаковая буквенная часть, объединяют, а коэффициенты складывают. Так, 3x² - 5x² + 4x² = 2x², но x² и x складывать до одного члена нельзя, это разные слагаемые. Раскрывая скобки, помни про знак перед ними: 3(2a - 1) - 2(3a - 4) = 6a - 3 - 6a + 8 = 5. Видишь, буква исчезла, и ответ не зависит от a.

Теперь формулы сокращённого умножения. Они нужны, чтобы не перемножать скобки вручную. Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b². Проверим на числах: (3 + 2)² = 25, а 9 + 12 + 4 = 25. Самая частая ошибка: записать a² + b², потеряв удвоенное произведение. Квадрат разности отличается лишь знаком у среднего члена: (2x - 1)² = 4x² - 4x + 1. Разность квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b). Эта формула работает в обе стороны. Разложение: x² - 49 = (x - 7)(x + 7). Счёт в уме: 51² - 49² = (51 - 49)(51 + 49) = 2 · 100 = 200. Вычисление 99² тоже просто: (100 - 1)² = 10000 - 200 + 1 = 9801.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Одночлен

Произведение чисел и букв в натуральных степенях, например -4x²y. Числовой множитель называют коэффициентом.

Многочлен

Сумма нескольких одночленов. Степенью многочлена считают наибольшую степень его членов.

Подобные члены

Слагаемые с одинаковой буквенной частью. При сложении складывают только коэффициенты, буквенная часть не меняется.

Приведение подобных

Замена нескольких подобных слагаемых одним: 5x + 2x - 3x = 4x.

Формулы сокращённого умножения

Готовые равенства для быстрого раскрытия скобок и разложения многочленов: квадрат суммы, разность квадратов и другие.

Квадрат суммы

(a + b)² = a² + 2ab + b². Первое число в квадрате, удвоенное произведение, второе в квадрате.

Квадрат разности

(a - b)² = a² - 2ab + b². Отличается от квадрата суммы знаком у удвоенного произведения.

Разность квадратов

Выражение a² - b², равное произведению (a - b)(a + b).

Сумма кубов

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²). Во второй скобке знак перед ab минус.

Разность кубов

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). Во второй скобке все знаки плюс.

Разложение на множители

Запись многочлена в виде произведения более простых многочленов.

Вынесение общего множителя

Приём: выражение, общее для всех слагаемых, выносят за скобку. 6x² + 9x = 3x(2x + 3).

Группировка

Приём разложения: слагаемые объединяют в группы так, чтобы в каждой можно было вынести общий множитель.

Квадратный трёхчлен

Многочлен вида ax² + bx + c, где a не равно нулю.

Теорема Виета

Для x² + px + q = 0 сумма корней равна -p, а произведение корней равно q.

Алгебраическая дробь

Дробь, у которой в числителе и знаменателе стоят многочлены.

Сокращение дроби

Деление числителя и знаменателя на общий множитель. Предварительно их нужно разложить на множители.

Общий знаменатель

Выражение, которое делится на знаменатели всех складываемых дробей. К нему приводят дроби перед сложением.

Допустимые значения

Значения букв, при которых знаменатель дроби не равен нулю и выражение имеет смысл.

Тождество

Равенство, верное при всех допустимых значениях букв. Например, (a + b)² = a² + 2ab + b².

Значение выражения

Число, которое получается после подстановки значений букв и выполнения всех действий.