Тригонометрия

Главное по теме

• На единичной окружности точка угла α имеет координаты (cos α; sin α). Косинус это абсцисса (x), синус ордината (y). Тангенс tg α = sin α / cos α, котангенс ctg α = cos α / sin α.
• Основное тождество: sin²α + cos²α = 1. Из него cos α = ±√1 - sin²α, знак берут по четверти. Пример: sin α = 35 в первой четверти даёт cos α = 45.
• Таблица: sin 30° = 12, cos 30° = √32, tg 30° = √33; sin 45° = cos 45° = √22, tg 45° = 1; sin 60° = √32, cos 60° = 12, tg 60° = √3.
• Значения для осевых углов: sin 0° = 0, cos 0° = 1; sin 90° = 1, cos 90° = 0; sin 180° = 0, cos 180° = -1; sin 270° = -1, cos 270° = 0.
• Перевод: 180° = π радиан. 60° = π/3, 30° = π/6, 45° = π/4, 90° = π/2, 360° = 2π. Формулы: рад = град · π/180, град = рад · 180/π.
• Чётность: cos(-α) = cos α (чётная функция), sin(-α) = -sin α, tg(-α) = -tg α (нечётные). Пример: cos(-60°) = 12.
• Знаки по четвертям: sin положителен в I и II, cos положителен в I и IV, tg положителен в I и III.
• Формулы двойного угла: sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos²α - sin²α = 1 - 2sin²α = 2cos²α - 1. Если sin α = 35, cos α = 45, то sin 2α = 2425.
• Формулы приведения: sin(180° - α) = sin α, cos(180° - α) = -cos α, sin(90° - α) = cos α, sin(180° + α) = -sin α. Функция меняется на кофункцию при 90° и 270°, не меняется при 180° и 360°.
• Период sin и cos равен 2π (360°), период tg и ctg равен π (180°). Область значений sin и cos это отрезок [-1; 1], поэтому sin α = 32 невозможно.

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Значение тригонометрического выражения

  Ловушка: Знак функции в четверти и формулы приведения.

  Как решать: Формулы приведения: при 90° и 270° функция меняется (sin ↔ cos), при 180° и 360° нет. Знак берём у исходной функции в той четверти, куда попал угол.

• Несколько ответов: тригонометрия

  Ловушка: Знаки функций по четвертям.

  Как решать: Первая четверть: всё +. Вторая: только sin +. Третья: только tg и ctg +. Четвёртая: только cos +.

Объяснение простыми словами

Тригонометрия начинается с прямоугольного треугольника. Для острого угла α в прямоугольном треугольнике различают три стороны: гипотенузу, противолежащий катет и прилежащий катет. Синус угла это отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс отношение противолежащего катета к прилежащему. Если гипотенуза равна 5, противолежащий катет 3, а прилежащий 4, то sin α = 35, cos α = 45, tg α = 34. Для любых острых углов этого достаточно, но углы бывают и больше 90°, и тут помогает единичная окружность.

Единичная окружность имеет радиус 1 и центр в начале координат. Угол откладывают от положительной оси x против часовой стрелки. Точка, в которую попал луч, имеет координаты (cos α; sin α). Косинус это координата x, синус координата y. Отсюда сразу видно, что значения обоих лежат в пределах от -1 до 1. Равенство sin α = 32 невозможно, потому что 32 больше единицы, и такие уравнения на экзамене решений не имеют. Тангенс определяется как отношение sin α / cos α, и он не существует там, где cos α = 0, например при 90°.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Единичная окружность

Окружность радиусом 1 с центром в начале координат. На ней определяют синус и косинус любого угла.

Синус угла

Ордината точки на единичной окружности. В прямоугольном треугольнике это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла

Абсцисса точки на единичной окружности. В прямоугольном треугольнике это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла

Отношение синуса к косинусу. В прямоугольном треугольнике это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла

Отношение косинуса к синусу, то есть число, обратное тангенсу.

Радиан

Центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Полный оборот составляет 2π радиан.

Градусная мера

Измерение углов в градусах. Полный оборот равен 360°, развёрнутый угол 180°.

Основное тригонометрическое тождество

Равенство sin²α + cos²α = 1, верное для любого угла α.

Координатная четверть

Одна из четырёх частей плоскости, на которые её делят оси координат. От четверти зависят знаки функций.

Чётная функция

Функция, у которой f(-x) = f(x). Среди синуса, косинуса, тангенса и котангенса чётный только косинус.

Нечётная функция

Функция, у которой f(-x) = -f(x). Нечётны синус, тангенс и котангенс.

Период функции

Наименьшее положительное число T, после прибавления которого к аргументу значение функции не меняется.

Формулы приведения

Формулы, которые сводят тригонометрию больших углов к острым, например sin(180° - α) = sin α.

Формулы двойного угла

Формулы для sin 2α и cos 2α через функции угла α.

Формулы сложения

Формулы sin(α ± β) и cos(α ± β) через синусы и косинусы углов α и β.

Область значений синуса

Все числа от -1 до 1 включительно. Значения за пределами этого отрезка невозможны.

Угол первой четверти

Угол от 0° до 90°. В нём синус, косинус и тангенс положительны.

Табличные значения

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, которые нужно знать наизусть.

Обратная функция

Для тригонометрии это арксинус, арккосинус и арктангенс: они по значению находят угол.

Тригонометрическое выражение

Запись, в которой есть тригонометрические функции углов. Её значение находят по таблице и формулам.