Действия со степенями

Главное по теме

• Степень с натуральным показателем: aⁿ = a · a · ... · a (n множителей). Число a называют основанием, n показателем.
• Умножение степеней с одним основанием: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Деление: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Показатели складываются или вычитаются, основание не меняется.
• Степень в степени: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Пример: (3²)³ = 3⁶ = 729. Степень произведения: (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• Нулевая степень: a⁰ = 1 для любого a ≠ 0. Первая степень: a¹ = a. Выражение 0⁰ не определяют.
• Отрицательный показатель: a⁻ⁿ = 1aⁿ. Пример: 5⁻² = 125. Дробь переворачивается: (23)⁻² = (32)² = 94.
• Дробный показатель: a^mn = ⁿ√aᵐ. Пример: 16³⁴ = (∜16)³ = 2³ = 8. Для дробных показателей основание должно быть положительным.
• Степени числа 10: 10⁻³ = 0,001; 10⁶ = 1 000 000. Стандартный вид числа: a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10.
• Знак степени: отрицательное число в чётной степени даёт плюс, в нечётной минус. (-2)⁴ = 16, (-2)³ = -8, а -2⁴ = -16 (минус стоит вне степени).
• Сравнение степеней: при основании больше 1 большему показателю соответствует большее значение, при основании от 0 до 1 наоборот. 2⁵ больше 2³, но (12)⁵ меньше (12)³.
• Частые значения: 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 2¹⁰ = 1024, 3⁴ = 81, 5³ = 125. Число 64 можно записать как 2⁶, 4³ и 8².

Задания с разбором

Объяснение простыми словами

Степень придумали, чтобы коротко записывать повторяющееся умножение. Вместо 2 · 2 · 2 · 2 · 2 пишем 2⁵. Нижнее число называют основанием, верхнее показателем. Он показывает, сколько раз основание берётся множителем. Значит, 2⁵ = 32, а не 10. Частая ошибка у тех, кто спешит: умножить 2 на 5 вместо того, чтобы перемножить пять двоек. Вторую степень называют квадратом, третью кубом, потому что a² это площадь квадрата со стороной a, а a³ объём куба.

Основные свойства степеней надо знать наизусть, и держатся они на одной мысли. Возьмём 2³ · 2⁵. Это (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2 · 2), всего восемь двоек подряд, то есть 2⁸. Так появляется правило: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. При делении показатели вычитаются: a⁷ / a³ = a⁴, ведь три множителя сокращаются. Если степень возводится в степень, показатели перемножаются: (3²)³ = 3⁶ = 729, потому что это три девятки подряд, 9 · 9 · 9 = 729. Степень произведения раскладывается: (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ, а степень дроби действует на числитель и знаменатель, (ab)ⁿ = aⁿ / bⁿ.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Степень

Запись aⁿ: число a повторяется множителем n раз. Результат тоже называют степенью.

Основание степени

Число, которое возводят в степень. В записи 2⁵ основание равно 2.

Показатель степени

Число, которое показывает, сколько раз основание берётся множителем. В записи 2⁵ показатель равен 5.

Возведение в степень

Действие, при котором основание умножают само на себя столько раз, сколько указывает показатель.

Квадрат числа

Вторая степень числа, a². Название пришло из геометрии: площадь квадрата со стороной a.

Куб числа

Третья степень числа, a³. Название связано с объёмом куба со стороной a.

Нулевая степень

Любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно единице: 7⁰ = 1.

Отрицательный показатель

Степень с минусом в показателе означает обратное число: a⁻ⁿ = 1aⁿ.

Дробный показатель

Степень вида a^mn равна корню n-й степени из aᵐ. Знаменатель дроби показывает корень, числитель степень.

Свойство произведения степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: a² · a³ = a⁵.

Свойство частного степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: a⁵ / a² = a³.

Степень степени

Чтобы возвести степень в степень, показатели перемножают: (a²)³ = a⁶.

Степень произведения

Произведение можно возводить в степень по множителям: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.

Степень дроби

Дробь возводят в степень, возводя в неё и числитель, и знаменатель: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.

Обратное число

Число, которое при умножении на данное даёт единицу. Для 23 обратным будет 32.

Стандартный вид числа

Запись a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10, а n целое. Удобна для очень больших и очень малых чисел.

Корень n-й степени

Число, которое в степени n даёт подкоренное число. Он связан со степенью: ⁿ√a = a¹ⁿ.

Степень десяти

Число вида 10ⁿ. При n > 0 это единица с n нулями, при отрицательном n десятичная дробь.

Показательная функция

Функция y = aˣ при a > 0 и a ≠ 1. Она вся состоит из положительных значений.

Основание степени, равное единице

Единица в любой степени остаётся единицей: 1ⁿ = 1.

Приведение к одному основанию

Приём, при котором числа записывают степенями общего основания, например 8 и 4 как степени двойки.