Действия с радикалами. Числовые и буквенные выражения

Главное по теме

• Арифметический квадратный корень √a (a ≥ 0) - это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Поэтому √9 = 3, а не ±3. Корень из отрицательного числа в действительных числах не существует.
• √a² = |a|. Пример: √(3 - √10)² = |3 - √10| = √10 - 3, потому что √10 ≈ 3,16 больше трёх.
• Произведение и частное: √ab = √a · √b и √ab = √a / √b при a ≥ 0, b > 0. Суммы так раскладывать нельзя: √a + b не равен √a + √b.
• Вынос множителя: √50 = √25 · 2 = 5√2. Внесение под корень: 3√5 = √9 · 5 = √45. Множитель кладут под корень в квадрате.
• Складывать и вычитать корни можно только подобные: 5√2 + 3√2 = 8√2, а √2 + √3 не упрощается.
• Формулы сокращённого умножения работают и с корнями: (√a - √b)(√a + √b) = a - b, (√a + √b)² = a + 2√ab + b.
• Избавление от корня в знаменателе: 6√3 = 6√33 = 2√3. Для знаменателя вида √a - b домножай на сопряжённое √a + b: 1√5 - 2 = √5 + 2.
• Корень n-й степени: ∛(-27) = -3 (нечётная степень допускает отрицательное число), а ∜16 = 2 (чётная степень требует число ≥ 0 и даёт ответ ≥ 0).
• Сравнение корней: внеси множители под корень или возведи в квадрат. 2√3 = √12, 3√2 = √18, значит 3√2 больше.
• Рациональные числа записываются дробью mn (целые числа, конечные и периодические десятичные дроби). Иррациональные - бесконечные непериодические: √2, √3, π. √16 = 4 рациональное число.

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Числовое выражение: дроби, степени, корни

  Ловушка: Порядок действий и √a² = |a|: забывают модуль, когда под квадратом отрицательное число.

  Как решать: Прикинь порядок ответа до счёта: если ответ около 2, варианты 20 и 0,2 сразу отпадают.

• Несколько ответов: числовые выражения

  Ловушка: Отмечают один верный вариант и останавливаются, а верных может быть два или три.

  Как решать: Каждый вариант это отдельное маленькое задание: проверь все пять.

Объяснение простыми словами

Квадратный корень появляется, когда мы спрашиваем: какое число, умноженное само на себя, даст вот это? Площадь квадратного участка 49 м², чему равна его сторона? Это 7 м, потому что 7 · 7 = 49. Записывается это как √49 = 7. Важная деталь: знак √ означает арифметический корень, то есть неотрицательное число. Поэтому √9 = 3, и никаких плюс-минус тут нет. Плюс-минус появляется, когда ты решаешь уравнение x² = 9, тогда x = 3 или x = -3. Не путай эти две вещи, на экзамене это частая ловушка. И ещё: под корнем чётной степени не может стоять отрицательное число, так что √-4 в действительных числах не существует.

Главное свойство, на котором держится почти всё: корень из произведения равен произведению корней, то есть √ab = √a · √b. Отсюда, например, √49 · 16 = 7 · 4 = 28. Точно так же работает деление: √ab = √a / √b. А вот со сложением так делать нельзя. Проверь на числах: √9 + 16 = √25 = 5, а √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Разные результаты, значит, равенство неверное. Запомни: корень дружит с умножением и делением, но не со сложением.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Квадратный корень

Число, которое при возведении в квадрат даёт данное число; арифметический корень берётся неотрицательным.

Подкоренное выражение

Выражение, стоящее под знаком корня. Для корня чётной степени оно не может быть отрицательным.

Корень n-й степени

Число, которое при возведении в степень n даёт подкоренное число. Обозначается ⁿ√a.

Арифметический корень

Неотрицательное значение корня из неотрицательного числа. Именно его обозначает знак √.

Модуль числа

Расстояние от числа до нуля на числовой прямой. Он всегда неотрицателен: |-5| = 5.

Вынесение множителя из-под корня

Преобразование, при котором полный квадрат из-под корня выходит наружу: √18 = 3√2.

Внесение множителя под корень

Обратное преобразование: число, стоящее перед корнем, возводится в квадрат и записывается под корнем.

Подобные корни

Корни с одинаковым подкоренным выражением, например 2√3 и 7√3. Их можно складывать и вычитать.

Иррациональное число

Число, которое нельзя записать дробью mn. Его десятичная запись бесконечна и не повторяется.

Рациональное число

Число, которое можно записать в виде дроби mn с целым m и натуральным n.

Действительные числа

Все рациональные и иррациональные числа вместе; они заполняют всю числовую прямую.

Сопряжённое выражение

Для a + √b сопряжённым считается a - √b. Произведение таких выражений не содержит корня.

Иррациональность в знаменателе

Корень в знаменателе дроби. Его убирают умножением числителя и знаменателя на подходящее выражение.

Формула разности квадратов

(a - b)(a + b) = a² - b². С корнями она убирает корень: (√7 - √3)(√7 + √3) = 4.

Числовое выражение

Запись из чисел, знаков действий и скобок. Его значение находят по порядку действий.

Буквенное выражение

Запись, в которой кроме чисел есть буквы. Его значение зависит от значений букв.

Порядок действий

Сначала скобки, затем степени и корни, потом умножение и деление, в конце сложение и вычитание.

Степень с натуральным показателем

Произведение одинаковых множителей: a³ = a · a · a.

Область допустимых значений

Все значения букв, при которых выражение имеет смысл. Для √a это a ≥ 0.

Приближённое значение

Округлённое число, которым заменяют точное. Например, √2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73.