Множества и круги Эйлера

Главное по теме

• Множество это набор предметов, собранных по признаку: «ученики, которые ходят на футбол». Элемент либо входит в множество, либо нет, дважды одного элемента не бывает.
• Объединение «A или B»: всё, что есть хотя бы в одном из множеств. Пересечение «A и B»: только то, что есть в обоих сразу. A = {1; 2; 3}, B = {3; 4}: объединение {1; 2; 3; 4}, пересечение {3}.
• Главная формула: |A или B| = |A| + |B| − |A и B|. В классе 15 на футболе, 12 на плавании, 5 на обоих: хотя бы на одной секции 15 + 12 − 5 = 22. Пересечение вычитаем, потому что при сложении оно посчитано дважды.
• «Только A» = |A| − |A и B|. Из 15 футболистов 5 ещё и плавают, значит только футбол у 10. «Ровно одно из двух» = только A + только B.
• «Ни то, ни другое» = всего − |A или B|. В классе 25, хотя бы на одной секции 22, значит ни на одной 3. Сначала найди объединение, потом вычти его из общего числа.
• Три круга: |A или B или C| = |A| + |B| + |C| − |A и B| − |A и C| − |B и C| + |A и B и C|. Парные пересечения вычитаем, тройное прибавляем обратно.
• Дополнение множества A: всё, что в него не входит, из общего набора. Из 30 учеников 18 сдали зачёт, дополнение это 12 не сдавших. Вероятность события и его дополнения в сумме 1.
• Подмножества: у множества из n элементов ровно 2ⁿ подмножеств, вместе с пустым и самим множеством. 3 начинки для пиццы дают 2³ = 8 вариантов, в том числе пиццу без начинки.
• Непустых подмножеств 2ⁿ − 1. Если нужно «хотя бы два элемента», убери ещё одиночные: 2ⁿ − 1 − n. Для 4 элементов: 16 − 1 − 4 = 11.
• Если известно «ни одного», сначала найди объединение: всего − ни одного. Потом из формулы объединения найди пересечение. Класс 32, вне кружков 7, значит внутри 25, и 18 + 15 − x = 25 даёт x = 8.

Задания с разбором

Объяснение простыми словами

В девятом классе 30 человек. Классный руководитель собирает списки: на волейбол записались 14, на робототехнику 11. Он складывает: 25 человек заняты, значит, свободны 5. Но когда он пересчитывает по головам, свободных оказывается 9. Куда делись четверо? Они записались и на волейбол, и на робототехнику, и попали в оба списка. При сложении их посчитали дважды. Это главная идея всей темы: когда множества пересекаются, простое сложение завышает ответ, и лишнее нужно убрать.

Множество это просто набор объектов с общим признаком, например «все, кто ходит на волейбол». Чтобы видеть, что происходит, рисуют круги Эйлера: один круг для волейбола, другой для робототехники, круги накладываются. Область, где круги перекрываются, это пересечение, по-житейски «и то, и другое»: четверо наших учеников. Всё, что внутри хотя бы одного круга, это объединение, «или волейбол, или робототехника, или оба». А то, что снаружи обоих кругов, это «ни то, ни другое». Когда слышишь в задаче слово «и», думай о пересечении, слышишь «или» или «хотя бы одно», думай об объединении.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Множество

Набор объектов, собранных по общему признаку, например все ученики класса, которые ходят на шахматы.

Элемент множества

Один объект из множества. Ученик Арман это элемент множества «шахматисты класса».

Пустое множество

Множество, в котором нет ни одного элемента. Считается подмножеством любого множества.

Объединение

Множество всего, что входит хотя бы в одно из двух множеств. Отвечает слову «или».

Пересечение

Множество того, что входит в оба множества сразу. Отвечает слову «и».

Дополнение

Всё, что не входит в данное множество, но входит в общий набор. «Не ходит на футбол» это дополнение множества футболистов.

Подмножество

Множество, все элементы которого входят в другое множество. Девочки класса это подмножество класса.

Число подмножеств

У множества из n элементов 2ⁿ подмножеств, включая пустое и само множество.

Круги Эйлера

Рисунок, где каждое множество показано кругом, а общая часть кругов это пересечение. Помогает не потерять и не посчитать дважды.

Формула включения-исключения

|A или B| = |A| + |B| − |A и B|. Складываем, потом убираем то, что посчитали дважды.

Мощность множества

Число элементов множества, записывается |A|. Если в кружке 12 человек, то |A| = 12.

«Только A»

Элементы, которые есть в A, но нет в B: |A| − |A и B|.

«Ровно одно»

Элементы, которые входят ровно в одно из двух множеств: только A плюс только B.

«Хотя бы одно»

Элементы, которые входят в одно множество или в оба: это объединение.

«Ни одно»

Элементы вне всех кругов: общее число минус объединение.

Универсальное множество

Весь набор, о котором идёт речь в задаче: весь класс, все опрошенные, все жители дома.

Непересекающиеся множества

Множества без общих элементов, их пересечение пустое. Тогда объединение это просто сумма.

Тройное пересечение

Элементы, входящие во все три множества. В формуле для трёх кругов его прибавляют обратно.