Раздел «Математическая грамотность» в спецификации НЦТ

Вероятность

Главное по теме

Классическая вероятность: P = m / n, где n это все равновозможные исходы, m это подходящие нам. В пакете 3 лимонных и 7 мятных леденцов, лимонный достанем с вероятностью 310.
Противоположные события: P(A) + P(не A) = 1. Если брак среди деталей 0,05, то исправная деталь попадётся с вероятностью 1 − 0,05 = 0,95. Считай ту сторону, которая проще.
Несколько испытаний: исходы умножаются, не складываются. k монет дают 2^k исходов, k кубиков дают 6^k. Две монеты: 4 исхода (ОО, ОР, РО, РР), две кости: 36.
Порядок важен: пара (2 на первой кости; 5 на второй) и пара (5; 2) это два разных исхода. Сумму 7 на двух костях дают 6 пар из 36, значит P = 16.
Простые числа на кубике: 2, 3, 5 (три из шести, P = 12). Составные: 4 и 6 (P = 13). Единица не простая и не составная: у неё один делитель.
Выбор без возврата: после каждого шага уменьшаются и общее число, и число подходящих предметов. Из 5 белых и 3 чёрных шаров два белых подряд: 58 · 47 = 2056 = 514.
Независимые события и слово «и»: вероятности перемножаются. Первый ученик сдаёт с 0,9, второй с 0,8, оба сдадут с вероятностью 0,9 · 0,8 = 0,72.
«Хотя бы один»: считай противоположное «ни одного» и вычитай из 1. Два стрелка попадают с 0,7 и 0,6, хотя бы один попадёт: 1 − 0,3 · 0,4 = 1 − 0,12 = 0,88.
Делимость: «делится и на 4, и на 6» значит делится на НОК = 12, а не на 24. От 1 до 60 таких чисел 5, P = 560 = 112.
Как записать ответ: обыкновенная дробь сокращается до конца (636 = 16), десятичная пишется через запятую (0,25). Вероятность всегда от 0 до 1, число больше 1 это ошибка.

Задания с разбором

1.В пакете 6 яблок и 4 груши. Наугад достают один фрукт. Найди вероятность, что это груша. Запиши ответ десятичной дробью.

1Всех исходов n = 6 + 4 = 10, каждый фрукт равновозможен.
2Благоприятных исходов m = 4 (груши).
3P = mn = 410 = 0,4.

Ответ: 0,4

2.Бросают две игральные кости. Найди вероятность, что сумма очков равна 7.

1Кости разные, поэтому исходов 6 · 6 = 36 упорядоченных пар.
2Сумму 7 дают пары (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), всего 6.
3P = 636 = 16.

Ответ: 16

3.В мешке 6 белых и 2 чёрных шара. Два шара достают один за другим, не возвращая. Найди вероятность, что оба белые.

1Первый шар белый: 68.
2Шар не вернули: белых стало 5, всего 7. Второй белый: 57. Ловушка: уменьшаем и числитель, и знаменатель.
3Перемножаем шаги: 68 · 57 = 3056.
4Сокращаем: 3056 = 1528.

Ответ: 1528

Объяснение простыми словами

Представь, что в школе разыгрывают билет на концерт. В коробке 40 бумажек с именами, одна из них твоя. Ведущий достаёт одну наугад. Какой у тебя шанс? Один из сорока. Это и есть вероятность: доля удачных случаев среди всех возможных. Записывают так: P = m / n, где n это все исходы (40 бумажек), а m это те, которые нас устраивают (1 твоя). Получается 140, или 0,025. Главное условие: все исходы должны быть равновозможными. Если бы твоя бумажка была толще остальных и чаще попадалась под руку, формула бы не работала. На экзамене кубики честные, монеты честные, шары в мешке одинаковые, поэтому формулу можно применять смело.

Самая частая ошибка в простых задачах это неправильно посчитать n или m. В мешке 4 красных, 3 синих и 5 зелёных шаров. Вероятность достать синий? Всего шаров 4 + 3 + 5 = 12, синих 3, значит P = 312 = 14. Не 13, хотя цветов три: цвета не равновозможны, зелёных шаров больше, чем синих. Считаем предметы, а не названия. И ещё: читай, о чём именно спрашивают. Если вопрос «не синий», то m = 12 − 3 = 9 и P = 912 = 34.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Доучи тему до конца в Biik

План на каждый день, видеоразборы, проверка из 8 заданий после каждой темы, пробник ЕНТ раз в месяц и ИИ-репетитор, который отвечает на вопросы. 3 дня бесплатно, без карты.

Начать бесплатно Пройти диагностику

Диагностика покажет, сколько баллов тебе не хватает до гранта и где именно. 30 заданий после короткой бесплатной регистрации.

Термины

Вероятность: Число от 0 до 1, которое показывает, насколько возможно событие. 0 это невозможное событие, 1 это обязательное.
Исход: Один из возможных результатов опыта, например выпавшее на кубике число.
Равновозможные исходы: Исходы, у которых одинаковые шансы: любая грань честного кубика, любой шар в мешке.
Благоприятный исход: Исход, который нас устраивает по условию задачи. Их число обозначают m.
Классическое определение: P = m / n: число благоприятных исходов делят на число всех равновозможных исходов.
Событие: То, что может произойти или не произойти в опыте, например «выпало чётное число».
Противоположное событие: Событие «не A». Вероятности A и не A в сумме дают 1.
Независимые события: События, которые не влияют друг на друга: результат одного не меняет шансы другого. Вероятность «и то, и другое» равна произведению.
Зависимые события: События, где первое меняет шансы второго, например второй шар без возврата первого.
Выбор без возврата: Предмет взяли и не вернули: на следующем шаге и общее число, и число подходящих предметов меньше на единицу.
Выбор с возвратом: Предмет возвращают назад перед следующим шагом, шансы на каждом шаге одинаковые.
Пространство исходов: Все возможные исходы опыта вместе. Для двух костей это 36 пар.
Правило умножения: Если первое действие можно сделать a способами, а второе b способами, то вместе a · b способов.
«Хотя бы один»: Один или больше. Считается через противоположное событие «ни одного»: P = 1 − P(ни одного).
Простое число: Число больше 1, которое делится только на 1 и на себя: 2, 3, 5, 7, 11.
Составное число: Число больше 1, у которого есть делители кроме 1 и самого себя: 4, 6, 8, 9, 10.
НОК: Наименьшее общее кратное: самое маленькое число, которое делится на оба данных. НОК(4; 6) = 12.
Достоверное событие: Событие, которое произойдёт обязательно, его вероятность 1.
Невозможное событие: Событие, которое не произойдёт никогда, его вероятность 0.

Все темы: Математическая грамотность