Механические колебания

Главное по теме

• Колебание - движение, которое повторяется через равные промежутки времени. Период T (с) - время одного колебания, частота ν = 1 / T (Гц), число колебаний N = ν · t.
• Циклическая частота: ω = 2π·ν = 2π / T (рад/с). Гармоническое колебание: x = A · cos(ω·t + φ₀).
• Амплитуда A - наибольшее отклонение от положения равновесия. Фаза (ω·t + φ₀) определяет состояние колебания в момент t.
• Наибольшая скорость v_max = A · ω, наибольшее ускорение a_max = A · ω². В положении равновесия скорость максимальна, а ускорение равно нулю; в крайней точке наоборот.
• Математический маятник: T = 2π · √l / g. Период не зависит от массы груза и от амплитуды (при малых углах).
• Пружинный маятник: T = 2π · √m / k. Период растёт с массой и падает с ростом жёсткости пружины k.
• Полная энергия колебаний: W = k·A² / 2 = m·v² / 2 + k·x² / 2. Кинетическая и потенциальная энергии переходят друг в друга, сумма сохраняется.
• Свободные колебания идут после одного толчка, затухающие теряют энергию на трение, вынужденные идут под действием периодической силы.
• Резонанс: резкий рост амплитуды, когда частота внешней силы совпадает с собственной частотой системы.

Задания с разбором

Где теряют баллы

• Механические колебания: маятник, пружина, период и частота

  Ловушка: Думают, что период маятника зависит от массы; период пружинного маятника от длины.

  Как решать: Нить: T = 2π√lg, масса не важна. Пружина: T = 2π√mk. Длина в 4 раза больше, период в 2 раза.

Объяснение простыми словами

Подвесь груз на нитке, отклони в сторону и отпусти. Он начнёт качаться туда-сюда, и каждый раз почти повторяет своё движение. Так же колеблется груз на пружине, струна гитары, ребёнок на качелях. Все такие движения объединяет одно: они повторяются через равные промежутки времени. Это и есть механические колебания. Положение, в котором тело спокойно висело бы без движения, называют положением равновесия, а отклонение от него смещением x.

Описывать колебания помогают четыре величины. Амплитуда A это наибольшее смещение от равновесия, измеряется в метрах. Период T это время одного полного колебания (туда и обратно в исходную точку), в секундах. Частота ν это число полных колебаний в одну секунду, измеряется в герцах (Гц). Они связаны так: ν = 1 / T. Если за время t тело совершило N колебаний, то T = t / N и ν = N / t. Пример: за 10 с маятник сделал 20 колебаний. Тогда T = 10 / 20 = 0,5 с, ν = 2 Гц. Ловушка: период и частота обратные величины, при росте частоты период уменьшается.

Дальше в Biik: продолжение объяснения, видеоразбор и проверка из 8 заданий по этой теме.

Термины

Механические колебания

Движения тела, которые точно или приблизительно повторяются через равные промежутки времени.

Положение равновесия

Положение, в котором результирующая сила на колеблющееся тело равна нулю.

Смещение x

Отклонение колеблющегося тела от положения равновесия в данный момент.

Амплитуда A

Максимальное смещение тела от положения равновесия; единица - метр.

Период T

Время одного полного колебания; единица - секунда.

Частота ν

Число полных колебаний за одну секунду, ν = 1 / T; единица - герц (Гц).

Циклическая частота ω

Число колебаний за 2π секунд, ω = 2π·ν = 2π / T; единица - рад/с.

Фаза колебаний

Величина (ω·t + φ₀) под знаком синуса или косинуса, определяющая смещение в данный момент времени.

Начальная фаза φ₀

Фаза колебаний в момент времени t = 0.

Гармонические колебания

Колебания, при которых смещение меняется со временем по закону синуса или косинуса: x = A·cos(ω·t + φ₀).

Свободные колебания

Колебания, которые происходят в системе только за счёт первоначально сообщённой энергии, без внешнего воздействия.

Затухающие колебания

Колебания, амплитуда которых уменьшается со временем из-за потерь энергии на трение и сопротивление.

Вынужденные колебания

Колебания под действием внешней периодически меняющейся силы; их частота равна частоте этой силы.

Автоколебания

Незатухающие колебания, которые поддерживаются источником энергии внутри самой системы (например, маятниковые часы).

Математический маятник

Модель: маленький груз на лёгкой нерастяжимой нити; период T = 2π·√l / g.

Пружинный маятник

Груз массой m на пружине жёсткостью k; период T = 2π·√m / k.

Жёсткость пружины k

Сила, которая возникает в пружине при растяжении на единицу длины; единица - Н/м.

Энергия колебаний

Сумма кинетической и потенциальной энергии; при отсутствии трения остаётся постоянной, W = k·A² / 2.

Резонанс

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней силы совпадает с собственной частотой системы.

Собственная частота

Частота, с которой система колеблется свободно, если её вывести из равновесия и оставить в покое.